Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上中线．
（1）如果AD=

1

2

BC，求证：△ABC是直角三角形；
（2）如果AB=5，AC=13，AD=6．求BC的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据三角形的中线定义求出AD=BD=DC，然后根据等边对等角的性质得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BAC=90°．
（2）延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根据勾股定理求出CD即可．

解答：证明：（1）∵AD=

1

2

BC，BD=CD=

1

2

BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
即∠BAC=90°．
（2）延长AD到E使AD=DE，连接CE，

在△ABD和△ECD中

AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=DC

，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC²=AE²+CE²，
∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD=

DE2+CE2

=

61

，
∴BC=2CD=2

61

．

点评：本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明，主要利用了等边对等角的性质以及三角形的内角和定理．