Question

如图，△ACM与△CBN都是等边三角形，如图1，若点C为线段AB上一点，则有线段AN与线段BM相等，如图2，AN与MB交于点E，BM和CN相交于点F，△BCN固定不动，保持△ACM的形状和大小不变，将△ACM绕着点C转动（△ACM和△BCN不重叠）．
（1）线段AN与线段BM是否仍然相等？证明你的结论；
（2）求∠BEN的大小．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）证明AC=MC，CB=CN；∠ACN=∠MCB；证明△ACN≌△MCB，得到AN=BM．
（2）由△ACN≌△MCB，得到∠ANC=∠MBC，进而得到E、N、B、C四点共圆，得到∠BEN=∠BCN=60°．

解答：解：（1）如图2，线段AN与线段BM仍然相等；理由如下：
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN，AC=MC，CB=CN；
∴∠ACN=∠MCB；
在△ACN与△MCB中，

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）∵△BCN为等边三角形，
∴∠BCN=60°；
∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∴E、N、B、C四点共圆，
∴∠BEN=∠BCN=60°．

点评：该题以等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；解题的关键是深入把握题意，准确找出图形中隐含的等量关系．