Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AC=3，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）首先证明∠DCB=∠ECA，然后利用SAS即可证明两个三角形全等；
（2）首先证明∠BAE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，则利用勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：∵∠DCE=∠BCA=90°，
∴∠DCB=∠ECA，
则在△ACE和△BCD中，

CD=CE ∠DCB=∠ECA CB=CA

，
∴△ACE≌△BCD；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AB=3

2

，∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠CBD=135°，
∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE=AB=3

2

，∠CAE=∠CBD=135°，
∴∠BAE=135°-45°=90°．
∴△ABE是等腰直角三角形．
∴BE=

2

AB=

2

×3

2

=6．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，正确证明△ABE是等腰直角三角形是关键．