Question

如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，AD=CB．求证：
（1）OE平分∠AEC；
（2）BE=DE．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）连接AB、DC、EO、AO、CO、AC，根据AD=CB可得∠BAC=∠DCA，然后证明△BAC≌△DCA可得AB=CD，再证明△BAE≌△DCE可得AE=CE，最后再证明△AEO≌△CEO可得∠AEO=∠CEO，进而可得OE平分∠AEC；
（2）根据AD=CB，AE=CE，利用等式的性质可得BE=DE．

解答：证明：（1）连接AB、DC、EO、AO、CO、AC，
∵AD=CB，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△DCA中，

∠B=∠D ∠BAC=∠DCA AC=AC

，
∴△BAC≌△DCA（AAS），
∴AB=CD，
在△BAE和△DCE中，

∠B=∠D ∠BEA=∠DEC AB=CD

，
∴△BAE≌△DCE（AAS），
∴AE=CE，
在△AEO和△CEO中，

AE=CE EO=EO AO=CO

，
∴△AEO≌△CEO（SSS），
∴∠AEO=∠CEO，
∴OE平分∠AEC；

（2）∵AD=CB，AE=CE，
∴AD-AE=CB-CE，
∴BE=DE．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握全等三角形的判定与性质．