Question

【题目】如图①抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．

（1）试用含k的代数式表示点Q、点B的坐标．

（2）连接PC，若四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）只有4个横坐标、纵坐标均为整数的点，求k的取值范围．

（3）如图②，四边形CDQP为平行四边形时，

①求k的值；

②E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EG∥y轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足tan∠EGF的点E有两个？若存在，求出n；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）Q（1，2k），B（﹣k+3，﹣k2+4k）；（2）1＜k；（3）①k＝1；②不存在，理由见解析．

【解析】

（1）由图可知，抛物线对称轴在y轴右侧，顶点P纵坐标为4，用顶点坐标公式即列得关于m的不等式和方程，求解即得到m的值，进而得到抛物线解析式．把顶点P的横坐标代入直线y＝kx+k即得到用k表示点Q的坐标．令抛物线解析式为0，解方程求得点A坐标．把直线与抛物线解析式联立方程组并整理得关于x的一元二次方程，利用韦达定理得xA+xB的值，把xA代入即求得点B横坐标进而求得B的纵坐标．

（2）由（1）得C（0，3），P（1，4），即四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）有2个满足横坐标、纵坐标均为整数的点P、C，另外两个满足的点应该是M（0，2）、N（1，3），由图象可知此时点D在线段MS上（不与S（0，1）重合），点Q在线段NR上（不与点R（1，2）重合）．因为D（0，k），Q（1，2k），即列得关于k的不等式组，求解即得到k的取值范围．

（3）①求直线CP解析式，由四边形CDQP为平行四边形可得DQ∥CP，即直线y＝kx+k的k与直线CP解析式的一次项系数相等，求得k＝1．

②过点F作FH⊥⊥EG于点H，则Rt△FGH中，tan∠EGF，即GH＝2FH．由点E、F横坐标分别为a，a+n，可用含a、n的式子表示FH、GH的长，代入GH＝2FH，得到关于a的一元二次方程（n为常数）．因为满足tan∠EGF的点E有两个，即关于a的方程有两个不相等的实数根，由△＞0求得n的取值范围小于0，故不存在满足条件的正整数n．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的顶点P纵坐标为4，

∴4

解得：m1＝3，m2＝﹣5

∵抛物线对称轴在y轴右侧

∴0

解得：m＞1

∴m＝3

∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，顶点P（1，4）

∵直线y＝kx+k与对称轴交于点Q

∴Q（1，2k）

∵y＝﹣x2+2x+3＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴A（﹣1，0）

∵ 整理得：x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0

∴xA+xB＝﹣（k﹣2）

∴xB＝﹣（k﹣2）﹣xA＝﹣（k﹣2）﹣（﹣1）＝﹣k+3

∴yB＝kxB+k＝﹣k2+4k

∴B（﹣k+3，﹣k2+4k）

（2）∵C（0，3），P（1，4），D（0，k），Q/span>（1，2k）

∴当四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）只有4个横坐标、纵坐标均为整数的点时，

4个点是C、P、M（0，2）、N（1，3）（如图1）

∴点D在线段MS上（不与S（0，1）重合），点Q在线段NR上（不与点R（1，2）重合）

∴，解得：1＜k

（3）①∵C（0，3），P（1，4）

∴直线CP解析式为y＝x+3

∵四边形CDQP为平行四边形

∴DQ∥CP，即直线y＝kx+k平行直线CP

∴k＝1

②不存在满足条件的正整数n．

如图2，过点F作FH⊥EG于点H

∴∠FHE＝∠FHG＝90°

∵k＝1

∴直线AB：y＝x+1

∵点E在线段DB上横坐标为a，EG∥y轴交抛物线于点G

∴E（a，a+1），G（a，﹣a2+2a+3）

∵点F在线段DB上横坐标为a+n

∴FH＝xF﹣xE＝n，F（a+n，a+n+1）

∴GH＝yG﹣yF＝﹣a2+2a+3﹣（a+n+1）＝﹣a2+a+2﹣n

∵Rt△FGH中，tan∠EGF

∴GH＝2FH

∴﹣a2+a+2﹣n＝2n，整理得：a2﹣a+3n﹣2＝0

∵满足tan∠EGF的点E有两个，

∴关于a的方程a2﹣a+3n﹣2＝0有两个不相等的实数根

∴△＝1﹣4（3n﹣2）＞0

解得：0＜n

∴不存在正整数n，使满足tan∠EGF的点E有两个．