Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kAC，点D在AC上，连接BD．

（1）如图1，当k＝1时，BD的延长线垂直于AE，垂足为E，延长BC、AE交于点F．求证：CD＝CF；

（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，连接AG并延长交BC于点H．

①如图2，若CH＝CD，探究线段AG与GH的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；

②如图3，若点D是AC的中点，直接写出cos∠CGH的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①，证明见解析；②cos∠CGH=．

【解析】

（1）只要证明△ACF≌△BCD（ASA），即可推出CF＝CD．

（2）结论：．设CD＝5a，CH＝2a，利用相似三角形的性质求出AM，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

（3）如图3中，设AC＝m，则BC＝km，m，想办法证明∠CGH＝∠ABC即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵∠ACB＝90°，BE⊥AF

∴∠ACB＝∠ACF＝∠AEB＝90°

∵∠ADE+∠EAD＝∠BDC+∠DBC＝90°，∠ADE＝∠BDC，

∴∠CAF＝∠DBC，

∵BC＝AC，

∴△ACF≌△BCD（ASA），

∴CF＝CD．

（2）解：结论：．

理由：如图2中，作AM⊥AC交CG的延长线于M．

∵CG⊥BD，MA⊥AC，

∴∠CAM＝∠CGD＝∠BCD＝90°，

∴∠ACM+∠CDG＝90°，∠ACM+∠M＝90°，

∴∠CDB＝∠M，

∴△BCD∽△CAM，

∴＝k，

∵CH＝CD，设CD＝5a，CH＝2a，

∴AM＝，

∵AM∥CH，

∴，

∴．

（3）解：如图3中，设AC＝m，则BC＝km，m，

∵∠DCB＝90°，CG⊥BD，

∴△DCG∽△DBC，

∴DC2＝DGDB，

∵AD＝DC，

∴AD2＝DGDB，

∴，

∵∠ADG＝∠BDA，

∴△ADG∽△BDA，

∴∠DAG＝∠DBA，

∵∠AGD＝∠GAB+∠DBA＝∠GAB+∠DAG＝∠CAB，

∵∠AGD+∠CGH＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，

∴∠CGH＝∠ABC，

∴.