Question

【题目】点P为⊙O内一点，A、B、C、D为圆上顺次四个点，连接AB、CD，OM⊥AB于点M，连接MP并延长交CD于点N，连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图1，若A、P、C三点共线，B、P、D三点共线，且AC⊥BD，求证：PN⊥CD；

（2）如图2，若PA＝PD，PA⊥PD，PC＝PB，PC⊥PB，求证：PN⊥CD；

（3）如图3，在（2）的条件下，PA＝10，PC＝6，∠APB＝60°，求MN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7+

【解析】

由OM⊥AB于点M,知M是AB的中点;

（1）∠APM+∠B＝90°,证明∠APM＝∠CPN即可;

（2）（3）通过作图证:△AEN≌△BPM（AAS）和△DPC≌△PAE（SAS）即可．

解:∵OM⊥AB于点M,

∴M是AB的中点;

（1）如图1,M是AB的中点,在Rt△APB中,∠A＝∠APM,

∵AC⊥BD,

∴∠APB＝90°,

∴∠A+∠B＝90°,即:∠APM+∠B＝90°,

而∠B＝∠C,∠APM＝∠CPN,即:∠CPN+∠C＝90°,

∴PN⊥CD;

（2）如图:过A点作AE∥PB,延长PM至E,

M是AB的中点,易证:△AEN≌△BPM（AAS）,

∵AE∥PB,

∴∠EAP+∠APB＝180°,

而∠DPC+∠APB＝360°﹣90°﹣90°＝180°,

∴∠EAP＝∠DPC,

易证:△DPC≌△PAE（SAS）,

∴∠APE＝∠D,而∠APE+∠DPN＝180°﹣90°＝90°,

即:∠D+∠DPN＝90°,

∴PN⊥CD;

（3）按照（2）的思路易证,

△AEN≌△BPM（AAS）,△DPC≌△PAE（SAS）,

∴PM＝PE,PE＝CD,

∵∠APB＝60°,

∴∠DPC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°,

在△DPC中,PD＝PA＝10,PC＝6,∠DPC＝120°,

易解,PN＝,CD＝14,

而PM＝PE＝CD＝7,

∴MN＝PM+PN＝7+,

即:MN的长为7+．