Question

18．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x与x轴交于O、B两点，顶点为P，连接OP、BP，直线y=x-4与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（Ⅰ）直接写出点B坐标（2，0）；判断△OBP的形状等腰直角三角形；
（Ⅱ）将抛物线沿对称轴平移m个单位长度，平移的过程中交y轴于点A，分别连接CP、DP；
（i）若抛物线向下平移m个单位长度，当S_△PCD=$\sqrt{2}$S_△POC时，求平移后的抛物线的顶点坐标；
（ii）在平移过程中，试探究S_△PCD和S_△POD之间的数量关系，直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据自变量与函数值得对应关系，可得B点坐标，根据配方法，可得顶点坐标，根据勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（Ⅱ）根据自变量与函数值得对应关系，可得C，D，M点坐标，根据平移规律，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PM的长，（i）根据面积的关系，可得关于m的方程，根据解方程，可得到顶点坐标；（ii）根据三角形的面积，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）当y=0时，x²-2x=0，解得x=0（舍）或x=2，即B点坐标为（2，0），
∵抛物线y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴P点坐标为（1，-1），由勾股定理，得
OP²=（2-1）²+1²=2，
∴OP²+BP²=OB²，OP=BP，
∴△OBP是等腰直角三角形，
故答案为：（2，0），等腰直角三角形；
（Ⅱ）∵直线y=x-4与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴C（0，-4），D（4，0），当x=1时，y=-3，即M（1，-3），
抛物线向下平移m个单位长度，解析式为y=（x-1）²-（1+m），P（1，-1-m），
∴PM=|-（1+m）+3|=|m-2|，
S_△PCD=S_△PMC+S_△PMD=$\frac{1}{2}$•PM•|x_P-x_C|=$\frac{1}{2}$•|m-2|×4=2|m-2|，
（i）S_△POC=$\frac{1}{2}$•AC•|x_P|=$\frac{1}{2}$×4×1=2，∵S_△PCD=$\sqrt{2}$S_△POC，∴S_△PCD=2|m-2|=2$\sqrt{2}$，解得m=2+$\sqrt{2}$或m=2-$\sqrt{2}$，∴P（1，-3-$\sqrt{2}$）或（1，-3+$\sqrt{2}$）；
（ii）S_△POD=$\frac{1}{2}$OD•|y_P|=$\frac{1}{2}$×4×|1-（1+m）|=2|m+1|，
①当m≥2时，S_△PCD=2|m-2|=2m-4，S_△POD=2|m+1|=2m+2，∴S_△POD-S_△PCD=6
②当-1≤m＜2时，S_△PCD=2|m-2=4-2m，S_△POD=2|m+1|=2m+2，∴S_△POD+S_△PCD=6
③当m＜-1时，S_△PCD=2|m-2|=4-2m，S_△POD=2|m+1|=2-2m，∴S_△POD-S_△PCD=6，
综上所述：当m≥2时，S_△POD-S_△PCD=6；当-1≤m＜2时，S_△POD+S_△PCD=6；当m＜-1时，S_△POD-S_△PCD=6．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（Ⅰ）的关键是利用勾股定理的逆定理；解（Ⅱ）的关键是利用三角形的面积得出关于m的方程，又利用了平行于y轴的直线上两点间的距离较大的纵坐标减较小的纵坐标得出PM的长，（ii）要分类讨论，以防遗漏．