Question

【题目】阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（MN）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an

∴MN＝aman＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（MN）

又∵m+n＝logaM+logaN

∴loga（MN）＝logaM+logaN

解决以下问题：

（1）将指数式53＝125转化为对数式　 　；

（2）log24＝　 　，log381＝　 　，log464=　 　．（直接写出结果）

（3）证明：证明loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．（写出证明过程）

（4）拓展运用：计算计算log34+log312﹣log316＝　 　．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）3＝log5125；（2）2，4，3；（3）见解析；（4）1.

【解析】

（1）根据题意可以把指数式53=125写成对数式；
（2）运用对数的定义进行解答便可；
（3）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；

（4）根据公式：loga（MN）＝logaM+logaN以及loga＝logaM﹣logaN的逆运用求解即可得到答案；

解：（1）∵一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x＝logaN．

∴3＝log5125，

故答案为：3＝log5125；

（2）∵22＝4，34＝81，43＝64，

∴log24＝2，log381＝4，log464＝3，

故答案为：2；4；3；

（3）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴＝＝am﹣n，

∴由对数的定义得m﹣n＝loga，

又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，

∴loga＝logaM﹣logaN；

（4）根据公式：loga（MN）＝logaM+logaN以及loga＝logaM﹣logaN得到：

log34+log312﹣log316＝log3（4×12÷16）＝log33＝1．

故答案为：1．