【题目】直角三角形中,
,直线
过点
.
(1)当时,如图①,分别过点
、
作
于点
,
于点
.求证:
.
(2)当,
时,如图②,点
与点
关于直线
对称,连接
、
,动点
从点
出发,以每秒1个单位长度的速度沿
边向终点
运动,同时动点
从点
出发,以每秒3个单位的速度沿
向终点
运动,点
、
到达相应的终点时停止运动,过点
作
于点
,过点
作
于点
,设运动时间为
秒.
①用含的代数式表示
.
②直接写出当与
全等时
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)①CN=6-3t;(2)3.5秒或5秒或6.5秒
【解析】
(1)根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB,利用AAS定理证明△ACD≌△CBE;
(2)①由题意得,AM=t,FN=3t,则CM=8-t,由折叠的性质可知,CF=CB=6,即可得出结果;
②分点F沿F→C路径运动,点F沿C→B路径运动,点F沿B→C路径运动,点F沿C→F路径运动四种情况,根据全等三角形的判定定理列式计算.
(1)证明:△ACD与△CBE全等.
理由如下:∵AD⊥直线l,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠ECB,
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS);
(2)解:①由题意得,AM=t,FN=3t,
则CM=8-t,
由折叠的性质可知,CF=CB=6,
∴CN=6-3t;
②由折叠的性质可知,∠BCE=∠FCE,
∵∠MCD+∠CMD=90°,∠MCD+∠BCE=90°,
∴∠NCE=∠CMD,
∴当CM=CN时,△MDC与△CEN全等,
当点F沿F→C路径运动时,8-t=6-3t,
解得,t=-1(不合题意),
当点F沿C→B路径运动时,8-t═3t-6,
解得,t=3.5,
当点F沿B→C路径运动时,由题意得,8-t=18-3t,
解得,t=5,
当点F沿C→F路径运动时,由题意得,8-t=3t-18,
解得,t=6.5,
综上所述,当t=3.5秒或5秒或6.5秒时,△MDC与△CEN全等.
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【题目】如图,两个大小一样的直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DH=4,平移距离为6,则阴影部分面积是_____
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【题目】已知射线与直线
交于点
,
平分
,
于点
,
.
(1)如图1,若;
①求的度数;
②试说明平分
.
(2)如图2,设的度数为
,当为多少度时,射线
是
的三等分线?并说明理由.
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【题目】绿豆在相同条件下的发芽试验,结果如下表所示:
每批 粒数n | 100 | 300 | 400 | 600 | 1000 | 2000 | 3000 |
发芽的 粒数m | 96 | 282 | 382 | 570 | 948 | 1912 | 2850 |
发芽的 频率 | 0.960 | 0.940 | 0.955 | 0.950 | 0.948 | 0.956 | 0.950 |
则绿豆发芽的概率估计值是( )
A. 0.96 B. 0.95 C. 0.94 D. 0.90
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【题目】(1)如图(1),已知:在等腰直角三角形中,
,直线
经过点
,
直线
,
直线
,垂足分别为点
、
.则
、
和
之间的数量关系是: .
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在等腰三角形中,
、
、
三点都在直线
上,且
,其中
为任意锐角或钝角.请问结论
是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),、
是直线
上的两动点(
、
、
三点互不重合),点
为
平分线上的一点,且
和
均为等边三角形,连接
、
,若
,求证:
.
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【题目】A、B两地相距600千米,甲、乙两车同时从A地出发驶向B地,甲车到达B地后立即返回,它们各自离A地的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系图象如图所示.
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数关系式;
(2)当它们行驶了7小时时,两车相遇,求乙车的速度.
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【题目】如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A'B'C',点C的对应点是直线上的格点C'.
(1)画出△A'B'C'.
(2)若连接AA′、BB′,则这两条线段之间的关系是 .
(3)试在直线l上画出格点P,使得由点A'、B'、C'、P四点围成的四边形的面积为9.
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