Question

【题目】如图，点A1（1，）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=x于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1D1，直线C1D1分别交直线y=kx和y=x于A2，B2两点，以A2B2为边在A2B2的右侧作等正方形A2B2C2D2…，直线C2D2分别交直线y=kx和y=x于A3，B3两点，以A3B3为边在A3B3的右侧作正方形A3B3C3D3，…，按此规律进行下去，则正方形AnBnCnDn的面积为____________．（用含正整数n的代数式表示）

Answer 1

【答案】4n-1

【解析】

先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而得到A1B1的长以及正方形A1B1C1D1的面积，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，求得B2的坐标，进而得到A2B2的长以及正方形A2B2C2D2的面积，最后根据变换规律，求得AnBn的长，进而得出正方形AnBnCnDn的面积即可．

∵点A1（1，）在直线y=kx上，

∴k=，y=x．

∵A1B1∥y轴交直线y=x于点B1，

∴B1（1，），

∴A1B1=-=1，即正方形A1B1C1D1的面积=12=1；

∵B1C1=A1B1=1，

∴A2（2，3），

又∵A2B2∥y轴，交直线y=x于点B2，

∴B2（2，1），

∴A2B2=3-1=2，即正方形A2B2C2D2的面积=22=4；

以此类推，

A3B3=4，即正方形A3B3C3D3的面积=42=16；

A4B4=8，即△A4B4C4面积=82=64=43；

…

∴AnBn=2n-1，即正方形AnBnCnDn的面积=（2n-1）2=4n-1．

故答案为4n-1．