【题目】把两个全等的矩形ABCD和EFGH如图1摆放(点D和点G重合,点C和点H重合),点A、D(G)在同一条直线上,AB=6cm,BC=8cm.如图2,△ABC从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s,AC与GH交于点P;同时,点Q从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s.点Q停止运动时,△ABC也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).
(1)当t为何值时,CQ∥FH;
(2)过点Q作QM⊥FH于点N,交GF于点M,设五边形GBCQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,是否存在某一时刻,使点M在线段PC的中垂线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)t=时,CQ∥FH;(2)(3)存在某一时刻,使点M在线段PC的中垂线上,t的值为s.
【解析】
(1)由矩形的性质得出BC=EH=GF=8cm,AB=EF=6cm,∠1B=∠E=∠EFG=90°,由勾股定理得出AC=FH=10(cm),由平行线得出△CEQ∽△HEF,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案;
(2)证明△FMQ∽△EFH,得出,求出MF=(6﹣t),当0<t<6时,五边形GBCQM的面积为y=梯形GBEF的面积﹣△CEQ的面积﹣△MFQ的面积,代入面积公式进行计算即可;
(3)由平行线得出△PCH∽△ACB,求出PH=t,得出PG=6﹣t,连接PM、CM,作MK⊥BC于K点,则四边形GHKM为矩形,得出MK=GH=6,EK=MF=(6﹣t),则CK=8﹣t﹣(6﹣t),由垂直平分线的性质得出PM=CM,由勾股定理得出方程,解方程即可.
(1)∵四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形,
∴BC=EH=GF=8cm,AB=EF=6cm,∠1B=∠E=∠EFG=90°,
∴AC=FH==10(cm),
当CQ∥FH时,△CEQ∽△HEF,
∴,即,
解得:t=,
即t=时,CQ∥FH;
(2)∵QM⊥FH,
∴∠FNQ=90°=∠EFG,
∴∠QMF+∠MFN=∠MFN+∠EFH=90°,
∴∠QMF=∠EFH,
∴△FMQ∽△EFH,
∴,即,
解得:MF=(6﹣t),
当0<t<6时,五边形GBCQM的面积为y=梯形GBEF的面积﹣△CEQ的面积﹣△MFQ的面积
=(8+8+8﹣t)×6﹣×(8﹣t)×t﹣(6﹣t)×(6﹣t)=,
即y与t之间的函数关系式为:;
(3)存在,理由如下:
∵AB∥GH,
∴△PCH∽△ACB,
∴,即,
∴PH=t,
∴PG=6﹣t,
连接PM、CM,作MK⊥BC于K点,如图2所示:
则四边形GHKM为矩形,
∴MK=GH=6,EK=MF=(6﹣t),
∴CK=8﹣t﹣(6﹣t),
若M在PC的垂直平分线上,则PM=CM,
由勾股定理得:PM2=PG2+MG2,CM2=CK2+MK2,
∴PG2+MG2=CK2+MK2,
即(6﹣t)2+[8﹣(6﹣t)]2=62+[8﹣t﹣(6﹣t)]2,
整理得: t2﹣2t=0,
解得:t=,或t=0(不合题意舍去),
∴t=;
即存在某一时刻,使点M在线段PC的中垂线上,t的值为s.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,OA是⊙O的半径,点E为圆内一点,且OA⊥OE,AB是⊙O的切线,EB交⊙O于点F,BQ⊥AF于点Q.
(1)如图1,求证:OE∥AB;
(2)如图2,若AB=AO,求的值;
(3)如图3,连接OF,∠EOF的平分线交射线AF于点P,若OA=2,cos∠PAB=,求OP的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上.若点A的坐标为(﹣4,﹣4),则k的值为( )
A. 16B. ﹣3C. 5D. 5或﹣3
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小明参加班长竞选,需进行演讲答辩与民主测评,民主测评时一人一票,按“优秀、良好、一般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.
(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数,以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数;
(2)求小明的综合得分是多少?
(3)在竞选中,小亮的民主测评得分为82分,如果他的综合得分不小于小明的综合得分,他的演讲答辩得分至少要多少分?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k<0),经过点(6,0),且与坐标轴围成的三角形的面积是9,与函数y=(x>0)的图象G交于A,B两点.
(1)求直线的表达式;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点.记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W.
①当m=2时,直接写出区域W内的整点的坐标 ;
②若区域W内恰有3个整数点,结合函数图象,求m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校在争创“全国文明城市”活动中,组织全体学生参加了“创文”知识竞赛,为了解各年级成绩情况,学校这样做的:
(收集数据)从七、八、九三个年级的竞赛成绩中各随机抽取了10名学生成绩如下表:
七年级 | 60 | 70 | 60 | 100 | 80 | 70 | 80 | 60 | 40 | 90 |
八年级 | 80 | 80 | 100 | 40 | 70 | 60 | 80 | 90 | 50 | 80 |
九年级 | 70 | 50 | 60 | 90 | 100 | 80 | 80 | 90 | 70 | 70 |
(整理、描述数据)(说明:80≤x≤100为优秀,60≤x<80为合格,40≤x<60为一般)
年级 | 40≤x<60 | 60≤x<80 | 80≤x≤100 |
七年级 | 1 | 5 | 4 |
八年级 | 2 | 2 | 6 |
九年级 | 1 | 4 | 5 |
年级 | 平均数 | 众数 | 中位数 |
七年级 | a | 60 | 70 |
八年级 | 73 | b | 80 |
九年级 | 76 | 70 | c |
(分析数据)三组样本数据的平均分、众数、中位数如上表所示,其中a= ,b= ,c= .
(得出结论)请你根据以上信息,推断你认为成绩好的年级,并说明理由(至少从两个角度说明)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点A1(1,)在直线y=kx上,过点A1作A1B1∥y轴交直线y=x于点B1,以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1D1,直线C1D1分别交直线y=kx和y=x于A2,B2两点,以A2B2为边在A2B2的右侧作等正方形A2B2C2D2…,直线C2D2分别交直线y=kx和y=x于A3,B3两点,以A3B3为边在A3B3的右侧作正方形A3B3C3D3,…,按此规律进行下去,则正方形AnBnCnDn的面积为____________.(用含正整数n的代数式表示)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词,一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值.右图描述了某次单词复习中四位同学的单词记忆效率与复习的单词个数的情况,则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com