【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8;(2)①S=﹣m2+3m;②满足条件的点F共有四个,坐标分别为F1(,8),F2(,4),F3(,6+),F4(,6﹣).
【解析】
(1)运用待定系数法求解;(2)①根据三角函数值性质得;②求函数的最值,根据抛物线性质求出D,Q的坐标,根据直角的位置有3种可能,展开分析,解直角三角形.
(1)将A、C两点坐标代入抛物线,得
,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=
(2)①∵OA=8,OC=6,
∴AC=
过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB=
②
∴当m=5时,S取最大值;
在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,
∵抛物线的解析式为y=的对称轴为x=,
D的坐标为(3,8),Q(3,4),
当∠FDQ=90°时,F1(,8),
当∠FQD=90°时,则F2(,4),
当∠DFQ=90°时,设F(,n),
则FD2+FQ2=DQ2,
即 +(8﹣n)2+ +(n﹣4)2=16,
解得:n=6±,
∴F3(,6+ ),F4(,6﹣),
满足条件的点F共有四个,坐标分别为
F1(,8),F2(,4),F3(,6+ ),F4(,6﹣).
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【题目】如图所示,函数y1=kx+b的图象与函数(x<0)的图象交于A(a﹣2,3)、B(﹣3,a)两点.
(1)求函数y1、y2的表达式;
(2)过A作AM⊥y轴,过B作BN⊥x轴,试问在线段AB上是否存在点P,使S△PAM=3S△PBN?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】小明参加班长竞选,需进行演讲答辩与民主测评,民主测评时一人一票,按“优秀、良好、一般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.
(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数,以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数;
(2)求小明的综合得分是多少?
(3)在竞选中,小亮的民主测评得分为82分,如果他的综合得分不小于小明的综合得分,他的演讲答辩得分至少要多少分?
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【题目】某校在争创“全国文明城市”活动中,组织全体学生参加了“创文”知识竞赛,为了解各年级成绩情况,学校这样做的:
(收集数据)从七、八、九三个年级的竞赛成绩中各随机抽取了10名学生成绩如下表:
七年级 | 60 | 70 | 60 | 100 | 80 | 70 | 80 | 60 | 40 | 90 |
八年级 | 80 | 80 | 100 | 40 | 70 | 60 | 80 | 90 | 50 | 80 |
九年级 | 70 | 50 | 60 | 90 | 100 | 80 | 80 | 90 | 70 | 70 |
(整理、描述数据)(说明:80≤x≤100为优秀,60≤x<80为合格,40≤x<60为一般)
年级 | 40≤x<60 | 60≤x<80 | 80≤x≤100 |
七年级 | 1 | 5 | 4 |
八年级 | 2 | 2 | 6 |
九年级 | 1 | 4 | 5 |
年级 | 平均数 | 众数 | 中位数 |
七年级 | a | 60 | 70 |
八年级 | 73 | b | 80 |
九年级 | 76 | 70 | c |
(分析数据)三组样本数据的平均分、众数、中位数如上表所示,其中a= ,b= ,c= .
(得出结论)请你根据以上信息,推断你认为成绩好的年级,并说明理由(至少从两个角度说明)
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3cm.动点P从点A出发,以cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发,以1cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设△APQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s),则下列图象能反映y与x之间关系的是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,点A1(1,)在直线y=kx上,过点A1作A1B1∥y轴交直线y=x于点B1,以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1D1,直线C1D1分别交直线y=kx和y=x于A2,B2两点,以A2B2为边在A2B2的右侧作等正方形A2B2C2D2…,直线C2D2分别交直线y=kx和y=x于A3,B3两点,以A3B3为边在A3B3的右侧作正方形A3B3C3D3,…,按此规律进行下去,则正方形AnBnCnDn的面积为____________.(用含正整数n的代数式表示)
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C,对称轴为直线x=1,且经过点A(3,-1),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)经过点A的直线交抛物线于点P,交x轴于点Q,若S△OPA=2S△OQA,试求出点P的坐标.
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【题目】为了贯彻落实《关于开展全市义务教育学生体质抽测工作的通知》精神,推进青少年茁壮成长工程,我市决定继续开展市直初中生体质抽测工作。我校初三某班被抽中,已知各人选测项目为下列选项中的任意一项:引体向上(男生)、仰卧起坐(女生)、立定跳远(男、女生),坐位体前屈(男、女生)。
(1)男生小磊抽测引体向上的概率是 ;
(2)用树状图或列表法求男生小磊与女生小铭恰好都抽测坐位体前屈的概率.
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【题目】问题背景:如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=∠BAC=60°,于是;
迁移应用:如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.
(1)求证:△ADB≌△AEC;
(2)若AD=2,BD=3,请计算线段CD的长;
拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.
(3)证明:△CEF是等边三角形;
(4)若AE=4,CE=1,求BF的长.
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