Question

【题目】如图①，等腰Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB的中点，Rt△DEF的两条直角边DE、DF分别与AC、BC相交于点M、N．

（1）思考推证：CM+CN＝BC；

（2）探究证明：如图②，若EF经过点C，AE⊥AB，判断线段MA、ME、MC、DN四条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）拓展应用：如图③，在②的条件下，若AB＝4，AE＝1，Q为线段DB上一点，DQ＝，QN的延长线交EF于点P，求线段PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），证明详见解析；（3）.

【解析】

（1）如图1，连接CD．证明△BDN≌△CDM，即可解决问题；

（2）结论： ．利用相似三角形的性质即可解答．

（3）如图3，连接CD，作EH⊥CD于H，证明△PNC≌△EAM，求出PN、QN的值即可解决问题．

（1）证明：连接CD，

∵∠ACB=90,CA=CB,AD=DB,∴CD=AD=DB=AB,

∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45,CD⊥AB,

∴∠CDN+∠BDN=90,

∵∠EDF=90,∴∠CDN+CDM=90,∴∠BDN=∠CDM,

∴△BDN≌△CDM, ∴BN=CM,

∴ BC=BN+CN=CM+CN;

(2)∵AE⊥AB,CD⊥AB,∴AE∥CD

∴△AEM∽△CDM,∴,

∵△BDN≌△CDM,∴DN=DM,

∴,即；

（3）∵∠EDF=90,∴∠NDQ+∠ADE=90

∵EA⊥AD,∴∠AED+∠ADE=90 ,∴∠AED=∠NDQ

而AE=1,AD=CD=DB=AB=2,∴ED=

∵△AEM∽△CDM,∴,∴DM=DN=ED=,

而DQ=，∴,

∴△AED∽△QDN,

过点E作EH⊥CD于点H,∴DH=AE=1,EH=AD=2,∴CH=2-1=1,

∴EC=,∴EC=ED,∴∠ECD=∠EDC=∠AEM,

∵PQ⊥AB,∴∠B=∠BNQ=∠PNC=45,

而∠PCN+∠NCD+∠ECD=∠EMA+∠AEM+∠EAM=180,

∠PCN=∠AME,而∠EAM=∠PNC=45,CN=AM,

∴△PNC≌△EAM,∴PN=AE=1,

∴.