Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是轴正半轴上的一点，，点在对称轴左侧的抛物线上运动，直线交抛物线的对称轴于点，连接，当平分时，求点的坐标；

（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），，，．

【解析】

（1）用待定系数法，直接将AB代入解析式即可求解．
（2）由MN平分∠OMD，MD平行ON即可求出OM=ON=，继而得出N点坐标，由直线ON解析式即可求出与抛物线交点坐标Q即可．
（3）由BCD三点的坐标可得△BCD三角形三边长，由CE坐标可得，△PCE和△ACD中CD=CE，则另两组边对应相等即可，设P点坐标为（x，y）；利用勾股定理即列方程求解．

解：（1）∵抛物线经过，两点，

∴解得：

∴抛物线的解析式为：．

（2）设对称轴与轴交于点，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

在中，，．

∴，

∴；．

①当时，直线解析式为：，

依题意得：．

解得：，．

∵点在对称轴左侧的抛物线上运动，

∴点纵坐标．

∴；

②当时，直线解析式为：，同理可求：

．

综上所述：点的坐标为：

，

（3）若与全等，点有四个，坐标为，，，．

由题意可知：，，，B（1，0），

，，，

直线AC经过，，设AC的解析式为y=kx+b，

将A和C代入，得，解得：，

直线AC解析式为，

抛物线对称轴为，而直线AC交对称轴于点，

坐标为；

，

设点坐标为，

则，

则，

，若与全等，有两种情况，

Ⅰ．，，即．

，

解得：，，

即点坐标为，．

Ⅱ．，，即．

，

解得：，，

即点坐标为，．

故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为，，，．