Question

【题目】如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，

①求证：ED是⊙O的切线；

②求证：DE2＝BFAE；

③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）根据圆周角定理由BC为⊙O的直径得到∠BDC=90°，再根据等腰三角形的性质得AD=CD，即D点为AC的中点，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AB，而DE⊥AB，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到DE是⊙O的切线；

（2）根据等腰三角形的性质得BD平分∠ABC，则利用角平分线性质得DE=DF，再证明Rt△AED∽Rt△DFB，根据相似的性质得DE：BF=AE：DF，用DE代换DF根据比例的性质即可得到DE2=BFAE；

（3）由于∠A=∠C，则cosA=cosC=，在Rt△CDF中，利用余弦的定义得cosC=，设CF=2x，则DC=3x，根据勾股定理计算得DF=x，所以x=3，解得x=3，于是得到DC=9，在Rt△CBD中根据余弦的定义可计算出BC．

（1）证明：∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，

∵BA＝BC，

∴AD＝CD，即D点为AC的中点，

∵点O为BC的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

而DE⊥AB，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）证明：连接BD、OD,

∵BA＝BC，BD⊥AC，

∴BD平分∠ABC，

∴DE＝DF，

∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，

∴∠ADE＝∠BDO，

而OB＝OD，

∴∠BDO＝∠OBD，

∴∠ADE＝∠OBD，

∴Rt△AED∽Rt△DFB，

∴DE：BF＝AE：DF，

∴DE：BF＝AE：DE，

∴DE2＝BFAE；

（3）解：∵∠A＝∠C，

∴cosA＝cosC＝，

在Rt△CDF中，cosC＝，

设CF＝2x，则DC＝3x，

∴DF＝x，

而DF＝3，

∴x＝3，解得x＝3，

∴DC＝9，

在Rt△CBD中，cosC＝，

∴BC＝×9＝，

即⊙O的直径为．