【题目】如图,直线l1⊥l2于点M,以l1上的点O为圆心画圆,交l1于点A,B,交l2于点C,D,OM=4,CD=6,点E为上的动点,CE交AB于点F,AG⊥CE于点G,连接DG,AC,AD.
(1)求⊙O的半径长;
(2)若DG∥AB,求DG的长;
(3)连接DE,是否存在常数k,使成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由;
(4)当点G在AD的右侧时,请直接写出△ADG面积的最大值.
【答案】(1)5;(2)3或6;(3)存在,;(4)9
【解析】
(1)直接利用勾股定理即可求解;
(2)证得FM是△CDG的中位线,再证得△CFM∽△AFG,设参数结合比例线段即可求解;
(3)在CG上截取CH=DE,利用SAS证得△ACH≌△ADE,推出AH=AE,再根据等腰三角形三线合一的性质可证得HG=EG,从而求得答案;
(4)取AC的中点P,当PG⊥AD时,△ADG面积最大;利用勾股定理求得AD =AC的长,证得Rt△CDNRt△ADM,求得CN的长,利用三角形中位线定理求得PK的长,利用直角三角形斜边中线的性质结合三角形面积即可求解.
(1) 连接OC,
∵AM⊥CD,
∴CM=CD,
∵CD=6,
∴CM=3
∵OM=4,
∴OC= ==5 ;
(2) ∵DG∥AB,且CM=MD,
∴CF=FG,
∴FM是△CDG的中位线,
∴DG=2FM,
∵∠CMF=∠AGF=90,
∠CFM=∠AFG,
∴△CFM∽△AFG,
∴,
∴,
设FM=,则AF=AM-FM=,
∴,
解得或3,
∴DG=3或6;
(3)存在常数k=2,理由如下:
在CG上截取CH=DE,连接AH,AE,
∵AB垂直平分CD,
∴AC=AD,
又∠ACH=∠ADE,
在△ACH和△ADE中,
,
∴△ACH≌△ADE (SAS) ,
∴AH=AE,
∵AG⊥HE,
∴HG=EG,
∴,
∴;
(4)取AC的中点P,当PG⊥AD时,△ADG面积最大;
在Rt△AMC中,∠CMA=90,CM=3,AM=OA+OM=,
∴AD =AC=,
在Rt△AGC中,∠CGA=90,P为AC中点,
∴PG =AC,
作CN⊥AD于N,
在Rt△CDN和Rt△ADM中,
∵∠CND=∠AMD=90,
∠CDN=∠ADM,
∴Rt△CDNRt△ADM,
∴,
∴,
设PG交AD于K,
∵PK⊥AD,CN⊥AD,且P为AC中点,
∴PK是△ACN的中位线,
∴PK=CN=,
∴GK=PG-PK=,
∴△ADG面积最大=.
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【题目】如图,在锐角三角形ABC中,BC=4,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,交AC于点D,M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是( )
A. B. 2C. 2D. 4
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【题目】如图,直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x2-6x+8=0的两个根(OA<OB),点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.
(1)求出点A、点B的坐标.
(2)请求出直线CD的解析式.
(3)若点M为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】图1是某小型汽车的侧面示意图,图2表示该车的后备箱开起示意图,BC,AD都垂直于地面CD,∠ABC=138°,AB=80厘米,BC=130厘米.求点A到地面的距离(即AD的长,结果保留到1厘米).参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11.
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【题目】如图,A,B为反比例函数y=图象上的点,AD⊥x轴于点D,直线AB分别交x轴,y轴于点E,C,CO=OE=ED.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)F为点A关于原点的对称点,求△ABF的面积.
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【题目】如图,在ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F,
①求证:ED是⊙O的切线;
②求证:DE2=BFAE;
③若DF=3,cosA=,求⊙O的直径.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点E,若D是AC的中点,连结DE.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若,,求⊙O的半径长;
(3)在(2)的条件下,过点A作⊙O的另一条切线,切点为F,过点F作FG⊥BC,垂足为H,且交⊙O于G点,连结AO 交CF于点P.求线段FG的长度.
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