Question

【题目】如图,直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB）,点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.

（1）求出点A、点B的坐标.

（2）请求出直线CD的解析式.

（3）若点M为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD的解析式:yCD=－2x+7;（3）存在，，，．

【解析】

（1）根据一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A，B的坐标；

（2）首先利用角之间的关系得出△BOA∽△COD，即可得出D点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；

（3）先求出P点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD时M在第三象限分别分析直接得出答案．

(1)∵

∴

∵OA、OB为方程的两个根，且OA＜OB

∴OA=2，OB=4,

∴ A(0,2)，B(－4,0),

(2)∵OA:AC=2:5

∴ AC=5

∴OC=OA+AC=2+5=7

∴ C(0,7),

∵∠BAO=∠CAP,∠CPB=∠BOA=90O

∴∠PBD=∠OCD

∵∠ BOA=∠COD=90O

∴△BOA∽△COD

∴=

∴ OD===,

∴D(,0)

设直线CD的解析式为

把x=0,y=7;x=,y=0分别代入得：

∴

∴yCD=－2x+7,

(3)存在，

,

设直线AB的解析式为：

解得：

故直线AB的解析式为：

将直线AB与直线CD联立

解得：

P点坐标

，

当是平行四边形

则

当是平行四边形

则

P到轴距离等于到轴距离，故的纵坐标为-3

的横坐标为2.5

的坐标为

综上所述M点的坐标为：，，．