Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．

（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5，顶点坐标为D（2，﹣9）；（2）①存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；②△PFH周长的最大值为.

【解析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）①求出直线BC解析式，表示PF，当PF=DE时，平行四边形存在．

②利用△PFH∽△BCO，应用相似三角形性质表示△PFH周长，应用函数性质讨论最值即可．

（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5，得

，解得：，

∴y=x2﹣4x﹣5=（x-2）2-9，

∴顶点坐标为D（2，﹣9）；

（2）①存在，

设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入得，解得：，

∴BC解析式为y=x﹣5，

当x=m时，y=m﹣5，

∴P（m，m﹣5），

当x=2时，y=2﹣5=﹣3，

∴E（2．﹣3），

∵PF∥DE∥y轴，

∴点F的横坐标为m，

当x=m时，y=m2﹣4m﹣5，

∴F（m，m2﹣4m﹣5），

∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m，

∵E（2，﹣3），D（2，﹣9），

∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6，

如图，连接DF，

∵PF∥DE，

∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，

即﹣m2+5m=6，

解得m1=3，m2=2（舍去），

当m=3时，y=3﹣5=2，

此时P（3，﹣2），

∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；

②由题意，在Rt△BOC中，OB=OC=5，

∴BC=5，

∴C△BOC =10+5，

∵PF∥DE∥y轴，

∴∠FPE=∠DEC=∠OCB，

∵FH⊥BC，

∴∠FHP=∠BOC=90°，

∴△PFH∽△BCO，

∴，

即C△PFH=，

∵0＜m＜5，

∴当m=﹣时，△PFH周长的最大值为.