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【题目】如图,已知在RtABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点E,若DAC的中点,连结DE

1)求证:DE为⊙O的切线;

2)若,求⊙O的半径长;

3)在(2)的条件下,过点A作⊙O的另一条切线,切点为F,过点FFGBC,垂足为H,且交⊙OG点,连结AO CF于点P.求线段FG的长度.

【答案】(1)详见解析;(2)2;(3)

【解析】

1)连接OEOD,易证OD是△ABC的中位线,利用中位线的性质可证明△COD≌△EOD 所以∠DEO=DCO =90°,从而可知DE是⊙O的切线;

2)由切线长定理得:DC=DE=,由点MAC的中点可知AC3tanABC ,所以BC4,从而可知⊙O的半径为2

3连结OF,由ACAF都是⊙O的切线可知AOCF,利用等面积可求得CF的长度,设OHx,然后利用勾股定理可求得OH的长度,利用垂径定理即可求得FG

1)证明:连结OEOD

DAC的中点,OBC的中点,

OD是△ABC的中位线,

ODAB

∴∠COD=ABC,∠EOD=OEB

又∵OB=OE,∴∠OEB=ABC

∴∠COD=EOD

在△COD与△EOD中,

∴△COD≌△EODSAS),

∴∠DEO=DCO =90°

DE是⊙O的切线.

2)∵DCDE分别是⊙O的切线,

DAC的中点,

AC=2DC=3

RtABC中,

,∴

BC=4

∴⊙O的半径为2

3)连结OF

ACAF都是⊙O的切线,

AC=AFAO平分∠CAF

AOCF,且PC=PF

AC=3OC=2

∴由勾股定理可得:

由三角形面积法可得:ACOC=AOCP

CP=,∴CF=

OH=x,则CH=x+2

由勾股定理可得:

,∴

RtCFH中,

由勾股定理可得:

∴由垂径定理可得:

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1)求⊙O的半径长;

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