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【题目】如图,在边长为2的正方形ABCD中,AE平分DACAECD于点FCEAE,垂足为点EEGCD,垂足为点G,点H在边BC上,BHDF,连接AHFHFHAC交于点M.下面结论:FH2BHACFHDF1 EG2FGDG.其中正确的个数为(

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

①②证明△ABH≌△ADF,得AFAH,再得AC平分∠FAH,则AM既是中线,又是高线,得ACFH,证明BHHMMFFD,则FH2BH;所以①②都正确;③证明CM=MF=DF,根据勾股定理即可求解判断;④利用三角函数先得出EG2FGCG,再根据中位线得到DGCG,所以④也正确.

①②如图1,∵四边形ABCD是正方形,

ABAD,∠B=∠D90°,∠BAD90°,

AE平分∠DAC

∴∠FAD=∠CAF22.5°,

BHDF

∴△ABH≌△ADF

AHAF,∠BAH=∠FAD22.5°,

∴∠HAC=∠FAC

HMFMACFH

AE平分∠DAC

DFFM

FH2DF2BH

故选项①②正确;

③在RtFMC中,∠FCM45°,

∴△FMC是等腰直角三角形,

CM=MF,

∵正方形的边长为2

AC2

DF=MF=MCAC-AM=AC-AD=22

所以选项③不正确;

④延长CEAD交于N,如图2

AECEAE平分∠CAD

CEEN

EGDN

CGDG

RtFEC中,EGFC

EFCE

∴∠EFC+FCE=∠GEC+FCE =90°

∴∠EFC=GEC

tanEFC=tanGEC

EG2FGCG,又CGDG

EG2FGDG

故选项④正确;

本题正确的结论有3个,

故选:C

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