【题目】如图,在边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH与AC交于点M.下面结论:①FH=2BH;②AC⊥FH;③DF=1;④ EG2=FGDG.其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
①②证明△ABH≌△ADF,得AF=AH,再得AC平分∠FAH,则AM既是中线,又是高线,得AC⊥FH,证明BH=HM=MF=FD,则FH=2BH;所以①②都正确;③证明CM=MF=DF,根据勾股定理即可求解判断;④利用三角函数先得出EG2=FGCG,再根据中位线得到DG=CG,所以④也正确.
①②如图1,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=90°,
∵AE平分∠DAC,
∴∠FAD=∠CAF=22.5°,
∵BH=DF,
∴△ABH≌△ADF,
∴AH=AF,∠BAH=∠FAD=22.5°,
∴∠HAC=∠FAC,
∴HM=FM,AC⊥FH,
∵AE平分∠DAC,
∴DF=FM,
∴FH=2DF=2BH,
故选项①②正确;
③在Rt△FMC中,∠FCM=45°,
∴△FMC是等腰直角三角形,
∴CM=MF,
∵正方形的边长为2,
∴AC=2,
∴DF=MF=MC=AC-AM=AC-AD=22,
所以选项③不正确;
④延长CE和AD交于N,如图2,
∵AE⊥CE,AE平分∠CAD,
∴CE=EN,
∵EG∥DN,
∴CG=DG,
在Rt△FEC中,EG⊥FC,
又EF⊥CE
∴∠EFC+∠FCE=∠GEC+∠FCE =90°
∴∠EFC=∠GEC
∴tan∠EFC=tan∠GEC
故
∴EG2=FGCG,又CG=DG
∴EG2=FGDG,
故选项④正确;
本题正确的结论有3个,
故选:C.
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【题目】图1是某小型汽车的侧面示意图,图2表示该车的后备箱开起示意图,BC,AD都垂直于地面CD,∠ABC=138°,AB=80厘米,BC=130厘米.求点A到地面的距离(即AD的长,结果保留到1厘米).参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11.
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【题目】如图,在ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F,
①求证:ED是⊙O的切线;
②求证:DE2=BFAE;
③若DF=3,cosA=,求⊙O的直径.
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【题目】为了解学生的艺术特长发展情况,某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中,你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图解答下列问题:
(1)扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为 度;
(2)若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组,请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点E,若D是AC的中点,连结DE.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若,,求⊙O的半径长;
(3)在(2)的条件下,过点A作⊙O的另一条切线,切点为F,过点F作FG⊥BC,垂足为H,且交⊙O于G点,连结AO 交CF于点P.求线段FG的长度.
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【题目】如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.(参考数据:≈2.449,结果保留整数)
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【题目】如图,已知矩形ABCD中,∠ACB=30°,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,使点B的对应点B′落在AC上,B′C′交AD于点E,在B′C′上取点F,使FB′=AB.
(1)求证:BB′= FB′;
(2)求∠FBB′的度数 ;
(3)已知AB=4,求△BFB′面积.
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【题目】疫情之下,中华儿女共抗时艰.重庆和湖北同饮长江水,为更好地驰援武汉,打赢防疫攻坚战,我市某公益组织收集社会捐献物资.甲、乙两人先后从地沿相同路线出发徒步前往地进行物资捐献,甲出发1分钟后乙再出发,一段时间后乙追上甲,这时甲发现有东西落在地,于是原路原速返回地去取(甲取东西的时间忽略不计),而乙继续前行,甲乙两人到达B地后原地帮忙.已知在整个过程中,甲乙均保持各自的速度匀速行走,甲、乙两人相距的路程(米)与甲出发的时间(分钟)之间的函数关系如图所示,则当乙到达地时,甲距地的路程是_______米.
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