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【题目】如图,在中,,点上,以线段的长为半径的相切于点分别交于点,连接并延长交延长线于点

1)求证:

2)已知的半径为5

①若,则__________

②连接,当__________时,四边形是菱形.

【答案】1)证明见解析;(2)①,②5

【解析】

1)由AD的切线推出,证得,推出∠OND,利用三角形的外角性质即可得出结论;

(2)①由勾股定理求出AD的长,再利用ΔAOD∽ΔABC相似,即可求得CD的长;

②连接DM,OM,由菱形的性质得DM的长,进而求得MC,BC的长度,再利用ΔAOD∽ΔABC相似即可求得AN的长.

(1)证明:∵的切线,∴

,∴

又∵,∴

(2)①在RtΔAOD中,OD=5,OA=ON+AN=8+5=13,

AD==,

ΔAOD∽ΔABC

,

CD=;

②如图,连接OM,DM

当四边形OBMD为菱形时,DM=BM=OB=OD=5

OM=5

∴ΔOMD是等边三角形,

∠ODM=60,

∴∠CDM=90-∠ODM=30,

RtΔMCD中,MC=DM=,

∴BC=BM+MC=5+=,

由①ΔAOD∽ΔABC,

,

AN=5,

AN=5时,当四边形OBMD为菱形.

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(1)求该抛物线的解析式;

(2)如图①,若点D是抛物线上一动点,设点D的横坐标为m0m3),连接CDBDBCAC,当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时,求m的值;

(3)若点N为抛物线对称轴上一点,请在图②中探究抛物线上是否存在点M,使得以BCMN为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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1)求抛物线的解析式;

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3)直线交对称轴于点是坐标平面内一点,当全等时,请直接写出点的坐标.

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【题目】植树节来临之际,学校准备购进一批树苗,已知2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需113元;3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需87元.

(1)求一棵甲种树苗和一棵乙种树苗的售价各是多少元?

(2)学校准备购进这两种树苗共100棵,并且乙种树苗的数量不多于甲种树苗数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并求出此时的总费用.

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(1)求证:PD是⊙O的切线;

(2)求证:△ABD∽△DCP;

(3)当AB=5cm,AC=12cm时,求线段PC的长.

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【题目】操作:在△ABC,AC=BC=4,C=90°,将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线ACCBDE两点。如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。

探究:

1)如图①,PDACDPEBCE,则重叠部分四边形DCEP的面积为___,周长___.

2)三角板绕点P旋转,观察线段PDPE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明;

3)三角板绕点P旋转,PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由。

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