Question

【题目】操作：在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。

探究：

（1）如图①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则重叠部分四边形DCEP的面积为___，周长___.

（2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明；

（3）三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长)；若不能，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）4，8；（2）证明见详解；（3）CE=0或2或或；

【解析】

（1）根据点P是AB的中点可判断出PD、PE是△ABC的中位线，继而可得出PD、PE的长度，也可得出四边形DCEP的周长和面积．

（2）先根据图形可猜测PD=PE，从而连接CP，通过证明△PCD≌△PEB，可得出结论．

（3）题目只要求是等腰三角形，所以需要分四种情况进行讨论，这样每一种情况下的CE的长也就不难得出．

解：（1）根据△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，

∵PD⊥AC，PE⊥BC，

∴PD∥BC，PE∥AC，

又∵点P是AB中点，

∴PD、PE是△ABC的中位线，

∴PD=CE=2，PE=CD=2，

∴四边形DCEP是正方形，面积为：2×2=4，周长为：2+2+2+2=8；

故答案为：4，8

（2）PD=PE；

证明如下：AC=BC，∠C=90°，P为AB中点，连接CP，

∴CP平分∠C，CP⊥AB，

∵∠PCB=∠B=45°，

∴CP=PB，

∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠DPC=∠EPB，

在△PCD和△PEB中，

,

∴△PCD≌△PBE（ASA），

∴PD=PE．

（3）△PBE是等腰三角形，

∵AC=BC=4，∠ACB=90°，

∴，

∴PB=；

①PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；

②当PB=BE时，如图，E在线段BC上，

CE＝；

③当PB=BE时，如图，E在CB的延长线上，CE＝；

④当PE=BE时，此时，点E是BC中点，则CE=2．

综合上述，CE的长为：0或2或或；