Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点 D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为2，∠A＝60°，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，先说明OD//AC，进而得到∠ODE=∠CED=90°，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而完成证明；

（2）利用（1）中的结论，可以说明明△BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，最后根据锐角三角函数即可解答．

（1）证明：连接OD．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB．

∴∠C＝∠ODB．

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC＝90°．

∴∠ODE＝∠DEC＝90°．

又OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC为等边三角形．

∴∠C＝60°，BC＝AB．

∵OD∥AC，

∴＝．

∴BD＝CD．

∴CD＝BC＝AB＝2．

在Rt△CDE中，∠C＝60°，CD＝2，

∵sinC＝，

∴DE＝CDsinC＝．