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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,点OBC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点DBC的平行线与AC的延长线相交于点P.

(1)求证:PD是⊙O的切线;

(2)求证:△ABD∽△DCP;

(3)当AB=5cm,AC=12cm时,求线段PC的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CP=16.9cm.

【解析】1)先判断出∠BAC=2BAD,进而判断出∠BOD=BAC=90°,得出PDOD即可得出结论;

(2)先判断出∠ADB=P,再判断出∠DCP=ABD,即可得出结论;

(3)先求出BC,再判断出BD=CD,利用勾股定理求出BC=BD=,最后用ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论.

(1)如图,连接OD,

BC是⊙O的直径,

∴∠BAC=90°,

AD平分∠BAC,

∴∠BAC=2BAD,

∵∠BOD=2BAD,

∴∠BOD=BAC=90°,

DPBC,

∴∠ODP=BOD=90°,

PDOD,

OD是⊙O半径,

PD是⊙O的切线;

(2)PDBC,

∴∠ACB=P,

∵∠ACB=ADB,

∴∠ADB=P,

∵∠ABD+ACD=180°,ACD+DCP=180°,

∴∠DCP=ABD,

∴△ABD∽△DCP;

(3)BC是⊙O的直径,

∴∠BDC=BAC=90°,

RtABC中,BC==13cm,

AD平分∠BAC,

∴∠BAD=CAD,

∴∠BOD=COD,

BD=CD,

RtBCD中,BD2+CD2=BC2

BD=CD=BC=

∵△ABD∽△DCP,

CP=16.9cm.

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