Question

直线y=-2x+2与坐标轴交于A、B两点，在反比例函数y=

2

x

的图象上是否存在点C，使△ABC的面积最小？若存在，请求出C点坐标及最小面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：平移直线于反比例函数y=

2

x

的图象交于一个交点是的交点即为C点，此时△ABC的面积最小，根据b²-4ac=0，即可求得平移后的直线的解析式，联立方程，解方程即可求得C点，根据点到直线的距离公式求得距离即可求得最小面积；

解答：解：存在；
设直线AB向上平移后的解析式为y=-2x+b，当直线y=-2x+b与比例函数y=

2

x

有且一个交点时，此交点即为C点，此时△ABC的面积最小，
解

y=-2x+b y= 2 x

，得2x²-bx+2=0，
∵b²-4×2×2=0，
∴b=4，
∴平移后的解析式为y=-2x+4，
解

y=-2x+4 y= 2 x

得

x=1 y=2

，
∴C的坐标为（1，2），
∵直线y=-2x+2，
∴直线方程2x+y-2=0，
∴C点到直线y=-2x+2的距离d=

1×2+2×1-2

22+12

=

2

5

，
∵直线y=-2x+2，
∴A（0，2），B（1，0），
∴AB=

22+12

=

5

，
∴S=

1

2

×

5

×

2

5

=1；
∴△ABC的最小面积=1；

点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法的求法，三角形的面积等，求得C点是解题的关键．