【题目】某校九年级数学小组在课外活动中,研究了同一坐标系中两个反比例函数与
在第一象限图象的性质,经历了如下探究过程:
操作猜想:
(1)如图①,当,
时,在
轴的正方向上取一点
作
轴的平行线交
于点
,交
于点
.当
时,
________,
________,
________;当
时,
________,
________,
________;当
时,猜想
________.
数学思考:
(2)在轴的正方向上任意取点
作
轴的平行线,交
于点
、交
于点
,请用含
、
的式子表示
的值,并利用图②加以证明.
推广应用:
(3)如图③,若,
,在
轴的正方向上分别取点
、
作
轴的平行线,交
于点
、
,交
于点
、
,是否存在四边形
是正方形?如果存在,求
的长和点
的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,
,
,
;
,
,
,
;
(2)
,理由见解析;(3)存在,
,点
的坐标为
,理由见解析
【解析】
(1)只需根据ABOA=2及ACOA=6就可解决问题;
(2)由AB·OA=k1,AC·OA=k2可得BC·OA= k2-k1,就可得到;
(3)设点B的坐标为(a,b)(a>0,b>0),则有DF=DA=AB=a,OA=b,从而可得到点F的坐标(a,a+b),由k2=12及,可求得k1=8,根据点B、F分别在两支图像上,可得到ab=8,a(a+b)=12,从而求出a,b的值
(1)当OA=1时,由ABOA=2得AB=2,由ACOA=6得AC=6,则有BC=ACAB=4,所以=2;
当OA=3时,由ABOA=2得AB=,由ACOA=6得AC=2,则有BC=ACAB=
,所以
=2;
当时,猜想
.
(2)
证明:∵,
,
∴,
∴ .
(3)若四边形是正方形,
设点的坐标为
(
,
),
则有,
,
,
∴点的坐标为
.
∵,
,
∴,
解得:.
∵点在
图象上,点
在
图象上,
∴,
,
∴,
∴,
∴,
∴,点
的坐标为
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+
x-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.
(1)求直线l的解析式;
(2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;
(3)取点G(0,-1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO-∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图像与边长是6的正方形
的两边
,
分别相交于
,
两点.
(1)若点是
边的中点,求反比例函数
的解析式和点
的坐标;
(2)若,求直线
的解析式及
的面积
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【题目】如图,在平面直角角坐标系中,已知抛物线
与
轴交于
,
两点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图,
轴与抛物线相交于点
,点
是直线
下方抛物线上的动点,过点
且与
轴平行的直线与
,
分别交于点
试探究当点
运动到何处时,线段
的最长,求点
的坐标;
(3)若点为抛物线的顶点,点
是该抛物线上的一点,在
轴、
轴上分别找点
,使四边形
的周长最小,请求出点
的坐标.
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【题目】如图,抛物线=
﹣3与
=
+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结沦:①无论x取何值,
的值总是正数;②2a=1;③当x=0时,
﹣
=4;④2AB=3AC.其中正确结论是______.(填序号)
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【题目】如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(3,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(4,t).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)在直线OB下方的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积最大,求点C的坐标;
(3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A(-1,0)和点B,与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C(1,n).
(1)求k的值;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)过x轴上的点D(a,0)作平行于y轴的直线l(a>1),分别与直线AB和双曲线y=交于点P、Q,且PQ=2QD,求点D的坐标.
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【题目】某手机店销售部
型和
部
型手机的利润为
元,销售
部
型和
部
型手机的利润为
元.
(1)求每部型手机和
型手机的销售利润;
(2)该手机店计划一次购进,
两种型号的手机共
部,其中
型手机的进货量不超过
型手机的
倍,设购进
型手机
部,这
部手机的销售总利润为
元.
①求关于
的函数关系式;
②该手机店购进型、
型手机各多少部,才能使销售总利润最大?
(3)在(2)的条件下,该手机店实际进货时,厂家对型手机出厂价下调
元,且限定手机店最多购进
型手机
部,若手机店保持同种手机的售价不变,设计出使这
部手机销售总利润最大的进货方案.
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