【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.
(1)求直线l的解析式;
(2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;
(3)取点G(0,-1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO-∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2;(2);(3)P(,)
【解析】
(1)根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标,从而可以求得直线l的函数解析式;
(2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;
(3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.
(1)∵抛物线y=x2+x-2,
∴当y=0时,得x1=1,x2=-4,当x=0时,y=-2,
∵抛物线y=x2+x-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
∴点A的坐标为(-4,0),点B(1,0),点C(0,-2),
∵直线l经过A,C两点,设直线l的函数解析式为y=kx+b,
,得,
即直线l的函数解析式为y=x2;
(2)直线ED与x轴交于点F,如图1所示,
由(1)可得,
AO=4,OC=2,∠AOC=90°,
∴AC=2,
∴OD=,
∵OD⊥AC,OA⊥OC,∠OAD=∠CAO,
∴△AOD∽△ACO,
∴,
即,得AD=,
∵EF⊥x轴,∠ADC=90°,
∴EF∥OC,
∴△ADF∽△ACO,
∴,
解得,AF=,DF=,
∴OF=4-=,
∴m=-,
当m=-时,y=×()2+×(-)-2=-,
∴EF=,
∴DE=EF-FD==;
(3)存在点P,使∠BAP=∠BCO-∠BAG,
理由:作GM⊥AC于点M,作PN⊥x轴于点N,如图2所示,
∵点A(-4,0),点B(1,0),点C(0,-2),
∴OA=4,OB=1,OC=2,
∴tan∠OAC=,tan∠OCB=,AC=2,
∴∠OAC=∠OCB,
∵∠BAP=∠BCO-∠BAG,∠GAM=∠OAC-∠BAG,
∴∠BAP=∠GAM,
∵点G(0,-1),AC=2,OA=4,
∴OG=1,GC=1,
∴AG=,
,即,
解得,GM=,
∴AM=,
∴tan∠GAM=,
∴tan∠PAN=,
设点P的坐标为(n,n2+n-2),
∴AN=4+n,PN=n2+n-2,
∴,
解得,n1=,n2=-4(舍去),
当n=时,n2+n-2=,
∴点P的坐标为(,),
即存在点P(,),使∠BAP=∠BCO-∠BAG.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 用适当的统计图表示某班同学戴眼镜和不戴眼镜所占的比例,应绘制折线统计图
B. 为了解我市某区中小学生每月零花钱的情况,随机抽取其中800名学生进行调查,这次调查的样本是800名学生
C. “任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
D. 若点在第二象限,则点在第一象限
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【题目】如图,某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度,沿旗杆正前方米处的点C出发,沿坡角为30°的斜坡CD前进4米到达点D,在点D处安置测角仪,测得旗杆顶部A的仰角为37°,量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内,AB⊥BC,AB∥DE.求旗杆AB的高度.(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,计算结果保留根号)
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【题目】在某校开展的“好书伴我成长”课外阅读活动中,为了解八年级学生的课外阅读情况,随机抽查部分学生,并对其课外阅读量进行统计分析,绘制成图1、图2两幅尚不完整的统计图,请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求被抽查的学生人数及课外阅读量的平均数;
(2)求扇形统计图中的值;
(3)根据样本数据,估计该校八年级800名学生在本次活动中课外阅读量多于2本的人数.
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【题目】如图,将沿弦折叠,使折叠后的劣弧恰好经过圆心O,连接并延长交于点C,点P是优弧上的动点,连接.
(1)如图,用尺规面出折叠后的劣弧所在圆的圆心,并求出的度数;
(2)如图,若是的切线,,求线段的长;
(3)如图,连接,过点B作的重线,交的延长线于点D,求证:.
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【题目】已知:如图,梯形中,,,,动点在射线上,以为半径的交边于点(点与点不重合),联结、,设,.
(1)求证:;
(2)求关于的函数解析式,并写出定义域;
(3)联结,当时,以为圆心半径为的与相交,求的取值范围.
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【题目】如图,双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.设点B的坐标为(m,n).
(1)直接写出点E的坐标,并求出点D的坐标;(用含m,n的代数式表示)
(2)若梯形ODBC的面积为,求双曲线的函数解析式.
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【题目】某校九年级数学小组在课外活动中,研究了同一坐标系中两个反比例函数与 在第一象限图象的性质,经历了如下探究过程:
操作猜想:
(1)如图①,当,时,在轴的正方向上取一点作轴的平行线交于点,交于点.当时,________,________,________;当时,________,________,________;当时,猜想________.
数学思考:
(2)在轴的正方向上任意取点作轴的平行线,交于点、交于点,请用含、的式子表示的值,并利用图②加以证明.
推广应用:
(3)如图③,若,,在轴的正方向上分别取点、 作轴的平行线,交于点、,交于点、,是否存在四边形是正方形?如果存在,求的长和点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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