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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x-2x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过AC两点,连接BC

1)求直线l的解析式;

2)若直线x=mm0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当ODAC时,求线段DE的长;

3)取点G0-1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=BCO-BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2;(2;(3P

【解析】

1)根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标,从而可以求得直线l的函数解析式;

2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;

3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=OCB,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.

1)∵抛物线y=x2+x-2

∴当y=0时,得x1=1x2=-4,当x=0时,y=-2

∵抛物线y=x2+x-2x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C

∴点A的坐标为(-40),点B10),点C0-2),

∵直线l经过AC两点,设直线l的函数解析式为y=kx+b

,得

即直线l的函数解析式为y=x2

2)直线EDx轴交于点F,如图1所示,

由(1)可得,

AO=4OC=2,∠AOC=90°

AC=2

OD=

ODACOAOC,∠OAD=CAO

∴△AOD∽△ACO

,得AD=

EFx轴,∠ADC=90°

EFOC

∴△ADF∽△ACO

解得,AF=DF=

OF=4-=

m=-

m=-时,y=×2+×--2=-

EF=

DE=EF-FD=

3)存在点P,使∠BAP=BCO-BAG

理由:作GMAC于点M,作PNx轴于点N,如图2所示,

∵点A-40),点B10),点C0-2),

OA=4OB=1OC=2

tanOAC=tanOCB=AC=2

∴∠OAC=OCB

∵∠BAP=BCO-BAG,∠GAM=OAC-BAG

∴∠BAP=GAM

∵点G0-1),AC=2OA=4

OG=1GC=1

AG=

,即

解得,GM=

AM=

tanGAM=

tanPAN=

设点P的坐标为(nn2+n-2),

AN=4+nPN=n2+n-2

解得,n1=n2=-4(舍去),

n=时,n2+n-2=

∴点P的坐标为(),

即存在点P),使∠BAP=BCO-BAG

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