Question

如图，两个同心圆的圆心为O，矩形ABCD的边AB为大圆的弦，边DC与小圆相切于点E，连接OE并延长交AB于点F．已知OA=4，AF=2．
（1）求AB的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）利用切线的性质得到OE⊥DC．结合矩形的对边相互平行和平行线的性质推知OF⊥AB，则根据垂径定理求得AB=2AF；
（2）连接OB．结合图形知：S_阴影=S_扇形OAB-S_△OAB．

解答：解：（1）∵DC切小圆O于点E，
∴OE⊥DC．
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴AB=2AF=4；

（2）连接OB．则OA=OB=AB=4．
∴∠AOB=60°，
在Rt△OAF中，OF=

OA2-AF2

=2

3

∴S_△OAB=

1

2

×AB×OF=4

3

．
∵S_扇形OAB=

60×π×22

360

=

2

3

π，
∴S_阴影=S_扇形OAB-S_△OAB=

2

3

π-2

3

．

点评：此题考查了切线的性质和扇形面积的计算．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答（2）题的关键．