Question

【题目】如图，抛物线的图象过点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为

【解析】

（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量．

（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标．

（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．

解：（1）∵抛物线与x轴交于点

∴可设交点式

把点代入得：

∴抛物线解析式为

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．

如图1，连接PB、BC

∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称

∵当C、P、B在同一直线上时，最小

最小

设直线BC解析式为

把点B代入得：，解得：

∴直线BC：

∴点使的周长最小，最小值为．

（3）存在满足条件的点M，使得．

∵S△PAM＝S△PAC

∴当以PA为底时，两三角形等高

∴点C和点M到直线PA距离相等

∵M在x轴上方

，设直线AP解析式为

解得：

∴直线

∴直线CM解析式为：

解得：（即点C），

∴点M坐标为