Question

【题目】已知直线y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝x 2

（1）求证：直线与抛物线有两个不同的交点；

（2）设直线与抛物线分别交于A, B两点.

①当k＝－时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；

②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB＝90°，若存在，求点D到直线AB的最大距离. 若不存在，请你说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；①点P的坐标为（－2，2）或（1，），②存在，当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为2.

【解析】

(1)联立y＝kx＋2k＋4与y＝x 2，得到，再利用根的判别式求解即可;(2) ①设P（m，m2），联立直线方程和抛物线方程，求得A，B的坐标，|AB|的长，运用点到直线的距离公式，解得即可得到所求P的坐标；②设A（x1， x12），B（x2， x22），D（t， t2），利用△ADE∽△DBF，得出AE·BF＝DE·DF，再利用垂线段最短得出结果即可.

（1）由得

∵

=

=

=

∵

∴直线与抛物线有两个不同的交点.

（2）当k＝－时，直线AB的解析式为y＝－x＋3

令－x＋3＝x2，即x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2

∴点A的横坐标为－3，点B的横坐标为2

过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q

设P（m， m2），则Q（m，－ m＋3）

∴PQ＝－m＋3－m2

∵S△ABP＝5，

∴ (2＋3)(－m＋3－m2)＝5

整理得：m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1

∴点P的坐标为（－2，2）或（1，）

（3）设A（x1， x12），B（x2， x22），D（t， t2）

联立消去y得：x2－2kx－4k－8＝0

∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－4k－8

过点D作EF∥x轴，分别过点A、B作y轴的平行线，交EF于点E、F

则DE＝t－x1，AE＝x12－t2，DF＝x2－t，BF＝x22－t2

由∠ADB＝90°，可得△ADE∽△DBF

∴，即AE·BF＝DE·DF

∴(x12－t2)( x22－t2)＝(t－x1)(x2－t)

∴t2＋(x1＋x2)t＋x1x2＋4＝0

∴t2＋2kt－4k－4＝0，即2k(t－2)＋t2－4＝0

当t－2＝0，即t＝2时，上式对任意实数k均成立

即点D的坐标与k无关，∴D（2，2）

连接CD，∵C（－2，4），∴CD＝2

过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DH≤CD

当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为2.