【题目】已知直线y=kx+2k+4与抛物线y=x 2
(1)求证:直线与抛物线有两个不同的交点;
(2)设直线与抛物线分别交于A, B两点.
①当k=-时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5;
②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB=90°,若存在,求点D到直线AB的最大距离. 若不存在,请你说明理由.
【答案】(1)见解析;①点P的坐标为(-2,2)或(1,),②存在,当CD⊥AB时,点D到直线AB的距离最大,最大距离为2
.
【解析】
(1)联立y=kx+2k+4与y=x 2,得到
,再利用根的判别式求解即可;(2) ①设P(m,
m2),联立直线方程和抛物线方程,求得A,B的坐标,|AB|的长,运用点到直线的距离公式,解得即可得到所求P的坐标;②设A(x1,
x12),B(x2,
x22),D(t,
t2),利用△ADE∽△DBF,得出AE·BF=DE·DF,再利用垂线段最短得出结果即可.
(1)由得
∵
=
=
=
∵
∴直线与抛物线有两个不同的交点.
(2)当k=-时,直线AB的解析式为y=-
x+3
令-x+3=
x2,即x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2
∴点A的横坐标为-3,点B的横坐标为2
过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q
设P(m, m2),则Q(m,-
m+3)
∴PQ=-m+3-
m2
∵S△ABP=5,
∴ (2+3)(-
m+3-
m2)=5
整理得:m2+m-2=0,解得m1=-2,m2=1
∴点P的坐标为(-2,2)或(1,)
(3)设A(x1, x12),B(x2,
x22),D(t,
t2)
联立消去y得:x2-2kx-4k-8=0
∴x1+x2=2k,x1x2=-4k-8
过点D作EF∥x轴,分别过点A、B作y轴的平行线,交EF于点E、F
则DE=t-x1,AE=x12-
t2,DF=x2-t,BF=
x22-
t2
由∠ADB=90°,可得△ADE∽△DBF
∴,即AE·BF=DE·DF
∴(x12-
t2)(
x22-
t2)=(t-x1)(x2-t)
∴t2+(x1+x2)t+x1x2+4=0
∴t2+2kt-4k-4=0,即2k(t-2)+t2-4=0
当t-2=0,即t=2时,上式对任意实数k均成立
即点D的坐标与k无关,∴D(2,2)
连接CD,∵C(-2,4),∴CD=2
过点D作DH⊥AB,垂足为H,则DH≤CD
当CD⊥AB时,点D到直线AB的距离最大,最大距离为2.
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【题目】如图,曲线BC是反比例函数y=(4≤x≤6)的一部分,其中B(4,1﹣m),C(6,﹣m),抛物线y=﹣x2+2bx的顶点记作A.
(1)求k的值.
(2)判断点A是否可与点B重合;
(3)若抛物线与BC有交点,求b的取值范围.
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【题目】如图,⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H,DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
(1)求证:DF垂直平分AC;
(2)求证:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半径.
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【题目】已知二次函数的y与x的部分对应值如表:
x | 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
y | 5 | 0 | 4 | 3 | 0 |
下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(,2),B(
,3)是抛物线上两点,则
,其中正确的个数是 ( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D(, y2)、E(2,y3),则y1、y2、y3的大小关系是( ).
A. y1< y2< y3B. y1 < y3< y2C. y3< y2< y1D. y2< y3< y1
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【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点并经过B点,已知A点坐标是(2,0),B点的坐标是(8,6).
(1)求二次函数的解析式;
(2)该二次函数的对称轴交x轴于C点,连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积;
(3)抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在2S△ADP=S△BCD?若存在请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,平面直角坐标系中,A(0,8)、B(6,0) .动点P从A点出发,沿y轴负半轴方向运动,速度每秒2个单位长度,动点Q从B点出发,沿BA方向向A点运动,速度每秒1个单位长度.两点同时出发,Q点到达A点时,两点同时停止运动,运动时间为t秒.
(1)当△APQ面积为12,求t的值.
(2)当△APQ的外心(三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)在△APQ的边上时,求t值.
(3)若Q点在直线AB上运动,过Q点作QH⊥x轴,垂足为H,当△QBH与△ABO的相似比为1:2时,直接写出Q点坐标.
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【题目】一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为,十位上和个位上的数字之和为
,如果
,那么称这个四位数为“和平数”.例如:1423,
,
,因为
,所以1423是“和平数”.
(1)直接写出:最小的“和平数”是_________________,最大的“和平数”是_______________;
(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”.
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【题目】奇思参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关,第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题奇思都不会,不过奇思还有两个“求助”可以使用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果奇思两次“求助”都在第一道单选题中使用,求他通关的概率;
(2)如果奇思每道单选题各使用一次“求助",请用列表法或画树状图的方法求他顺利通关的概率.
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