Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，A(0，8)、B(6，0) .动点P从A点出发，沿y轴负半轴方向运动，速度每秒2个单位长度，动点Q从B点出发，沿BA方向向A点运动，速度每秒1个单位长度.两点同时出发，Q点到达A点时，两点同时停止运动，运动时间为t秒.

(1)当△APQ面积为12，求t的值.

(2)当△APQ的外心（三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）在△APQ的边上时，求t值.

(3)若Q点在直线AB上运动，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H，当△QBH与△ABO的相似比为1：2时，直接写出Q点坐标.

Answer 1

【答案】（1）5+或5-；(2) 或；（3）（3,4）或（9，-4）

【解析】

（1）作QC⊥OB于点C，根据平行线分线段成比例定理求出OC的长，然后根据三角形的面积公式列方程求解即可；

（2）由△APQ的外心在△APQ的边上可知△APQ 是直角三角形，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况求解即可；

（3）分点Q在线段AB上和射线AB上两种情况求解即可.

（1）如图1，作QC⊥OB于点C，则QC∥OA，

由题意得，AP=2t，BQ=t，AB=，AQ=10-t，

∵QC∥OA，

∴，

∴，

∴OC=，

∴，

解之得t1=5+，t2=5-，

∴t的值是5+或5-；

（2）∵△APQ的外心在△APQ的边上，

∴△APQ的是直角三角形，

如图2，当∠APQ=90°时，则PQ∥OB，

∴，

∴，

解之得：t=；

如图3，当∠AQP=90°时，

∵，

∴，

解之得：t=.

∴t的值是或；

（3）如图4，当点Q在线段AB上时，

∵QH⊥OB,AO⊥OB,

∴△QBH∽△ABO,

∴,

∴,

∴BH=3,QH=4,

∴OH=6-3=3,

∴Q(3,4);

如图5，当点Q在射线AB上时，同理可求Q（9，-4）.

∴Q点坐标（3,4）或（9，-4）.