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【题目】在平面内,C为线段AB外的一点,若以ABC为顶点的三角形为直角三角形,则称C为线段AB的直角点. 特别地,当该三角形为等腰直角三角形时,称C为线段AB的等腰直角点.

1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为,在点P1P2P3中,线段OM的直角点是

2)在平面直角坐标系xOy中,点AB的坐标分别为,直线l的解析式为

①如图2C是直线l上的一个动点,若C是线段AB的直角点,求点C的坐标;

②如图3P是直线l上的一个动点,将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点.若⊙O的半径为r,且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点,直接写出r的取值范围.

【答案】1P1, P3

2)①点C的坐标为;②

【解析】

根据直角点的定义判定即可.

(2)① ∠BAC=90°时,可设点C的坐标为(a,b).

因为点A的坐标已知 ,点C在直线 上,可解得点C的坐标.

已知点B坐标同理可解点C坐标.

AB的中点M,作CHAB于点H,连接CM.

求出M坐标,算得CM长,在直角三角形CHM中利用勾股定理求得点C坐标.

关于r的取值范围根据图直接写出即可.

解:(1)根据直角点的定义线段OM的直角点为 P1, P3

2)① 当∠BAC=90°时,设点C的坐标为(ab.

∵点A的坐标为,点C在直线,

b=4,解得a=3.

∴点C的坐标为.

当∠ABC=90°时,设点C的坐标为(ab.

∵点B的坐标为,点C在直线,

b=,解得a=13.

∴点C的坐标为.

当∠ACB=90°时如图,设点C的坐标为(a, b.

AB的中点M,作CHAB于点H,连接CM.

C在直线上,

. *

∵点AB的坐标分别为,

M的坐标为CM=5.

由勾股定理得方程 . **

由(*),(**)得,故C的坐标为.

综上,点C的坐标为.

②如图AP与x轴平行时伴2、伴3共圆,r=

当O、A、P三点共线时伴3、伴4共圆r=O伴3=

直接写出r的取值范围是:

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