【题目】在平面内,C为线段AB外的一点,若以A,B,C为顶点的三角形为直角三角形,则称C为线段AB的直角点. 特别地,当该三角形为等腰直角三角形时,称C为线段AB的等腰直角点.
(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为,在点P1
,P2
,P3
中,线段OM的直角点是 ;
(2)在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为,
,直线l的解析式为
.
①如图2,C是直线l上的一个动点,若C是线段AB的直角点,求点C的坐标;
②如图3,P是直线l上的一个动点,将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点.若⊙O的半径为r,且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点,直接写出r的取值范围.
【答案】(1)P1, P3;
(2)①点C的坐标为或
或
或
;②
【解析】
根据直角点的定义判定即可.
(2)① ∠BAC=90°时,可设点C的坐标为(a,b).
因为点A的坐标已知 ,点C在直线 上,可解得点C的坐标.
已知点B坐标同理可解点C坐标.
取AB的中点M,作CH⊥AB于点H,连接CM.
求出M坐标,算得CM长,在直角三角形CHM中利用勾股定理求得点C坐标.
② 关于r的取值范围根据图直接写出即可.
解:(1)根据直角点的定义线段OM的直角点为 P1, P3 ;
(2)① 当∠BAC=90°时,设点C的坐标为(a,b).
∵点A的坐标为,点C在直线
上,
∴ b=4,,解得a=3.
∴点C的坐标为.
当∠ABC=90°时,设点C的坐标为(a,b).
∵点B的坐标为,点C在直线
上,
∴ b=,
,解得a=13.
∴点C的坐标为.
当∠ACB=90°时如图,设点C的坐标为(a, b).
取AB的中点M,作CH⊥AB于点H,连接CM.
∵ 点C在直线上,
∴ 得. (*)
∵点A,B的坐标分别为,
,
∴ 点M的坐标为,CM=5,
.
∴ 由勾股定理得方程 . (**)
由(*),(**)得或
,故C的坐标为
或
.
综上,点C的坐标为或
或
或
.
②如图AP与x轴平行时伴2、伴3共圆,r=
当O、A、P三点共线时伴3、伴4共圆r=O伴3=
即
直接写出r的取值范围是:
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的直角顶点A在
轴上,OB=5,OA=4,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O运动,同时点N从点O出发,以每秒2个单位长度的速度,沿OB向终点B移动,当两个动点运动了
秒时,解答下列问题:
(1)若点B在反比例函数的图象上,求出该函数的解析式;
(2)在两个动点运动过程中,当为何值时,使得以O,M,N为顶点的三角形与
相似?
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点为A(-1,0),对称轴为直线x =1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列四个结论中,①当x>3时,y<0;② 3a+b<0;③-1≤a ≤;④4ac-b2> 8a;所有正确结论的序号是_______________ .
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【题目】如图,曲线BC是反比例函数y=(4≤x≤6)的一部分,其中B(4,1﹣m),C(6,﹣m),抛物线y=﹣x2+2bx的顶点记作A.
(1)求k的值.
(2)判断点A是否可与点B重合;
(3)若抛物线与BC有交点,求b的取值范围.
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【题目】如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,以BC为直径的半圆交AB于点D,O是该半圆所在圆的圆心,E为线段AC上一点,且ED=EA.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)若,∠A=30°,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且DE∥AB,若S△CDE :S△BDE=1:3,则S△CDE:S△ABE =( )
A.1:9B.1:12
C.1:16D.1:20
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【题目】如图,⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H,DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
(1)求证:DF垂直平分AC;
(2)求证:FC=CE;
(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求⊙O的半径.
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【题目】如图1,平面直角坐标系中,A(0,8)、B(6,0) .动点P从A点出发,沿y轴负半轴方向运动,速度每秒2个单位长度,动点Q从B点出发,沿BA方向向A点运动,速度每秒1个单位长度.两点同时出发,Q点到达A点时,两点同时停止运动,运动时间为t秒.
(1)当△APQ面积为12,求t的值.
(2)当△APQ的外心(三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)在△APQ的边上时,求t值.
(3)若Q点在直线AB上运动,过Q点作QH⊥x轴,垂足为H,当△QBH与△ABO的相似比为1:2时,直接写出Q点坐标.
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