Question

【题目】如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA.

（1）求证：ED是⊙O的切线；

（2）若，∠A=30°，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2.

【解析】

（1） 连接OD．通过证明∠ODE=90°，易证得结论；

（2） 由（1）得ED是⊙O的切线；由题意得AC是⊙O的切线，可得ED=EC=EA,又由∠A=30°，在Rt△ABC中，解直角三角形可得BC长，然后半径可得.

（1）证明：连接OD.

∵ ED=EA,

∴ ∠A=∠ADE.

∵ OB=OD,

∴ ∠OBD=∠BDO.

∵ ∠ACB=90°,

∴ ∠A +∠ABC =90°.

∴ ∠ADE +∠BDO =90°.

∴ ∠ODE=90°.

∴ DE是⊙O的切线.

（2）解：∵ ∠ACB =90°, BC为直径,

∴ AC是⊙O的切线.

∵ DE是⊙O的切线,

∴ ED=EC.

∵ ED=,

∴ ED=EC=EA=.

∴ AC=.

∵ Rt△ABC中∠A=30°,

∴ BC=4.

∴ ⊙O的半径为2.