【题目】如图,曲线BC是反比例函数y=(4≤x≤6)的一部分,其中B(4,1﹣m),C(6,﹣m),抛物线y=﹣x2+2bx的顶点记作A.
(1)求k的值.
(2)判断点A是否可与点B重合;
(3)若抛物线与BC有交点,求b的取值范围.
【答案】(1)12;(2)点A不与点B重合;(3)
【解析】
(1)把B、C两点代入解析式,得到k=4(1﹣m)=6×(﹣m),求得m=﹣2,从而求得k的值;
(2)由抛物线解析式得到顶点A(b,b2),如果点A与点B重合,则有b=4,且b2=3,显然不成立;
(3)当抛物线经过点B(4,3)时,解得,b= ,抛物线右半支经过点B;当抛物线经过点C,解得,b=,抛物线右半支经过点C;从而求得b的取值范围为≤b≤.
解:(1)∵B(4,1﹣m),C(6,﹣m)在反比例函数 的图象上,
∴k=4(1﹣m)=6×(﹣m),
∴解得m=﹣2,
∴k=4×[1﹣(﹣2)]=12;
(2)∵m=﹣2,∴B(4,3),
∵抛物线y=﹣x2+2bx=﹣(x﹣b)2+b2,
∴A(b,b2).
若点A与点B重合,则有b=4,且b2=3,显然不成立,
∴点A不与点B重合;
(3)当抛物线经过点B(4,3)时,有3=﹣42+2b×4,
解得,b=,
显然抛物线右半支经过点B;
当抛物线经过点C(6,2)时,有2=﹣62+2b×6,
解得,b=,
这时仍然是抛物线右半支经过点C,
∴b的取值范围为≤b≤.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(8,1),B(0,﹣3),反比例函数y=(x>0)的图象经过点A,动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M,与直线AB交于点N.
(1)求k的值;
(2)当t=4时,求△BMN面积;
(3)若MA⊥AB,求t的值.
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【题目】射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值 (单位:秒)
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【题目】如图,点P是上一动点,连接AP,作∠APC=45°,交弦AB于点C.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm.(当点P与点A重合时,y1,y2的值为0;当点P与点B重合时,y1的值为0,y2的值为6).
小智根据学习函数的经验,分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小智的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值;
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 0 | 1.21 | 2.09 | m | 2.99 | 2.82 | 0 |
y2/cm | 0 | 0.87 | 1.57 | 2.20 | 2.83 | 3.61 | 6 |
经测量m的值是 (保留一位小数).
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数yspan>1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当△ACP为等腰三角形时,AP的长度约为 cm(保留一位小数).
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出利用尺规作图完成下面问题:
小明的作法如下:
老师说:“小明的作法正确.”
请回答:(1)点O为△ABC外接圆圆心(即OA=OB=OC)的依据是____;
(2)∠APB=∠ACB的依据是______________.
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【题目】请完成下面题目的证明.如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE
(1)求证:直线CG为⊙O的切线;
(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH;
①求证:△CBH∽△OBC;
②求OH+HC的最大值.
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【题目】在平面内,C为线段AB外的一点,若以A,B,C为顶点的三角形为直角三角形,则称C为线段AB的直角点. 特别地,当该三角形为等腰直角三角形时,称C为线段AB的等腰直角点.
(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为,在点P1,P2,P3中,线段OM的直角点是 ;
(2)在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为,,直线l的解析式为.
①如图2,C是直线l上的一个动点,若C是线段AB的直角点,求点C的坐标;
②如图3,P是直线l上的一个动点,将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点.若⊙O的半径为r,且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点,直接写出r的取值范围.
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【题目】下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x,y的对应值:
x | … | ﹣1 | ﹣ | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |||
y | … | m | ﹣1 | ﹣2 | ﹣1 | 2 | … |
(1)二次函数图象的开口向 ,顶点坐标是 ,m的值为 ;
(2)当x>0时,y的取值范围是 ;
(3)当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时,n的取值范围是 .
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【题目】已知直线y=kx+2k+4与抛物线y=x 2
(1)求证:直线与抛物线有两个不同的交点;
(2)设直线与抛物线分别交于A, B两点.
①当k=-时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5;
②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB=90°,若存在,求点D到直线AB的最大距离. 若不存在,请你说明理由.
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