【题目】射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值 (单位:秒)
【答案】t=2或3≤t≤7或t=8。
【解析】∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm,∠A=∠C=∠B=60°。
∵QN∥AC,AM=BM.∴N为BC中点。
∴MN=AC=2cm,∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°。
分为三种情况:①如图1,当⊙P切AB于M′时,连接PM′,
则PM′=cm,∠PM′M=90°,
∵∠PMM′=∠BMN=60°,∴M′M=1cm,PM=2MM′=2cm,
∴QP=4cm﹣2cm=2cm,
∵速度是每秒1cm,∴t=2。
②如图2,当⊙P于AC切于A点时,连接PA,
则∠CAP=∠APM=90°,∠PMA=∠BMN=60°,AP=cm
∴PM=1cm,∴QP=4cm﹣1cm=3cm。
∵速度是每秒1cm,∴t=3。
当⊙P于AC切于C点时,连接P′C,
则∠CP′N=∠ACP′=90°,∠P′NC=∠BNM=60°,CP′=cm,
∴P′N=1cm,∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm。
∵速度是每秒1cm,∴t=7。
∴当3≤t≤7时,⊙P和AC边相切。
③如图3,当⊙P切BC于N′时,连接PN′,
则PN′=cm,∠PM\N′N=90°,
∵∠PNN′=∠BNM=60°,∴N′N=1cm,PN=2NN′=2cm。
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm。
∵速度是每秒1cm,∴t=8。
综上所述,t可取的一切值为:t=2或3≤t≤7或t=8。
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【题目】每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,
(1)写出A、B、C的坐标.
(2)以原点O为中心,将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.
(3)求(2)中C到C1经过的路径以及OB扫过的面积.
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【题目】已知△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E点.
(1)求∠EDA的度数;
(2)AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
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【题目】建立模型:如图1,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°,顶点C在直线l上.
实践操作:过点A作AD⊥l于点D,过点B作BE⊥l于点E,求证:△CAD≌△BCE.
模型应用:(1)如图2,在直角坐标系中,直线l1:y=x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2.求l2的函数表达式.
(2)如图3,在直角坐标系中,点B(8,6),作BA⊥y轴于点A,作BC⊥x轴于点C,P是线段BC上的一个动点,点Q(a,2a﹣6)位于第一象限内.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请求出此时a的值,若不能,请说明理由.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E、F在对角线BD上,且BF=DE.
⑴求证:四边形AECF是菱形.
⑵若AB=2,BF=1,求四边形AECF的面积.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平行线交⊙O与点D,过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F.
(1)求证:AF⊥EF.
(2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AB的中点,DE⊥BC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,DE与BC的数量关系是 ;
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.
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【题目】在某段限速公路BC上(公路视为直线),交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h(即),并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中,点A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在点A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.另外一条公路在y轴上,AO为其中的一段.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s,通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速.(参考数据: ≈1.7)
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【题目】某学校为了解学生上学的交通方式,现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查,规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项,并根据统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请解答下列问题:
(1)在这次调查中,样本容量为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)“乘车”所对应的扇形圆心角为 °;
(4)若该学校共有2000名学生,试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数.
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