【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平行线交⊙O与点D,过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F.
(1)求证:AF⊥EF.
(2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论.
【答案】(1)首先连接OD,由EF是⊙O的切线,可得OD⊥EF,由∠BAC的平行线交⊙O与点D,易证得OD⊥BC,即可得BC∥EF,由AB为直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得AC⊥BC,继而证得AF⊥EF。
(2)首先连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,易证得△ADH≌△ADB,△CDF≌△HDF,继而证得AF+CF=AB。
【解析】
(1)首先连接OD,由EF是⊙O的切线,可得OD⊥EF,由∠BAC的平行线交⊙O与点D,易证得OD⊥BC,即可得BC∥EF,由AB为直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得AC⊥BC,继而证得AF⊥EF。
(2)首先连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,易证得△ADH≌△ADB,△CDF≌△HDF,继而证得AF+CF=AB。
证明:(1)连接OD,
∵EF是⊙O的切线,∴OD⊥EF。
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD。
∴。∴OD⊥BC。∴BC∥EF。
∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC。
∴AF⊥EF。
(2)连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BH。
∴∠ADB=∠ADH=90°,
∵在△ABD和△AHD中,,
∴△ABD≌△AHD(ASA)。∴AH=AB。
∵EF是切线,∴∠CDF=∠CAD,∠HDF=∠EDB=∠BAD。∴∠EDF=∠HDF。
∵DF⊥AF,DF是公共边,∴△CDF≌△HDF(ASA)。∴FH=CF。
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB,即AF+CF=AB。
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【题目】在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)请写出甲的骑行速度为 米/分,点M的坐标为 ;
(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两人出发后,在甲返回A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-4, 1),B(-1,3),C(-1,1)
(1)将△ABC以原点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△;平移△ABC,若A对应的点
坐标为(-4,-5),画出△
;
(2)若△绕某一点旋转可以得到△
,直接写出旋转中心坐标是__________;
(3)在x轴上有一点P是的PA+PB的值最小,直接写出点P的坐标___________;
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【题目】如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放,高AD=80cm,宽AB=48cm,小强身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK=80°),身体前倾成125°(∠EFG=125°),脚与洗漱台距离GC=15cm(点D,C,G,K在同一直线上).
(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少?
(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方,他应向前或后退多少?
(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17, ≈1.41,结果精确到0.1cm)
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【题目】射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值 (单位:秒)
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【题目】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,得△AOD,若△AOD为等腰三角形,则α=________
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【题目】甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合作2天就完成了全部工程.已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的,求甲、乙两队单独完成各需多少天?
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【题目】在某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶,下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图(图中的数字表示每一级台阶的高度,单位cm).已知数据15、16、16、14、14、15的方差S甲2=,数据11、15、18、17、10、19的方差S乙2=
.
请你用学过的统计知识(平均数、中位数、方差和极差)通过计算,回答下列问题:
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点?
(2)哪段台阶路走起来更舒服?为什么?
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
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