Question

【题目】请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE

(1)求证:直线CG为⊙O的切线；

(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；

①求证:△CBH∽△OBC；

②求OH+HC的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ①见解析;②5

【解析】

（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；

（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，

从而可证明△CBH∽△OBC；

②由△CBH∽△OBC可知：

，所以HB=，

由于BC=HC，所以OH+HC=

利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．

（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线CG是⊙O的切线；

（2）①∵CB=CH，

∴∠CBH=∠CHB，

∵OB=OC，

∴∠CBH=∠OCB，

∴△CBH∽△OBC

②由△CBH∽△OBC可知：

∵AB=8，

∴BC2=HBOC=4HB，

∴HB=，

∴OH=OB-HB=

∵CB=CH，

∴OH+HC=

当∠BOC=90°，

此时BC=

∵∠BOC＜90°，

∴0＜BC＜

令BC=x

∴OH+HC== =

当x=2时，

∴OH+HC可取得最大值，最大值为5