Question

13．如图，在直角坐标系中，直线l是绕着定点A（0，2）旋转的动直线，且与经过点C（0，1）的抛物线y=$\frac{1}{4}{x}^{2}+h$交于不同的两点P和Q（即直线l在旋转过程中，不与y轴平行）．
（1）求h的值；
（2）通过观察、分析，直接求出△PQO面积的最小值（不必说明理由）；
（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，请你通过观察、分析，并猜想：直线l在旋转的过程中，四边形AOBQ是哪些特殊四边形？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）将（0，1）代入抛物线的解析式即可求得h的值；
（2）当PQ∥x轴时，△PQ0的面积最小，将y=0代入抛物线的解析式可求得Q、P的坐标，从而可求得PQ的长，最后依据三角形的面积公式求解即可；
（3）设P（a，$\frac{1}{4}$a²+1），然后求得直线QA、PC的解析式（含字母a），然后再求得点B、Q的坐标，从而可作出判断．

解答 解：（1）将（0，1）代入y=$\frac{1}{4}{x}^{2}+h$得：h=1．
（2）∵h=1，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+1．
观察函数图象可知：当PQ∥x轴时，△PQ0的面积最小．
∵将y=2代入抛物线的解析式得：$\frac{1}{4}$x²+1=2，解得x₁=2，x₂=-2，
∴PQ=4．
∴S_△PQO=$\frac{1}{2}×4×2$=4．
（3）设P（a，$\frac{1}{4}$a²+1）其中a≠0，直线AP的解析式为y=kx+2，直线PC的解析式为y₁=k₁x+1．
∵将点P的坐标代入得；ak+2=$\frac{1}{4}$a²+1，ak₁x+1=$\frac{1}{4}$a²+1，解得：k=$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$，k₁=$\frac{a}{4}$，
∴直线AP的解析式为y=（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x+2，PC的解析式为y=$\frac{a}{4}$x+1．
∵令y₁=0得：$\frac{a}{4}$x+1=0，解得；x=-$\frac{4}{a}$，
∴B（-$\frac{4}{a}$，0）．
将y=（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x+2与y=$\frac{1}{4}$x²+1联立得：$\frac{1}{4}$x²+1=（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x+2，整理得：$\frac{1}{4}$x²-（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x-1=0，
∵a是方程$\frac{1}{4}$x²-（$\frac{a}{4}-\frac{1}{a}$）x-1=0的一个实根，
∴ax₂=-4．
∴x₂=-$\frac{4}{a}$．
∴点Q的横坐标相同．
∴QB∥AO．
当a≠±2时，QB≠AO，此时四边形AOBQ是直角梯形．
当a=±2时，QB=AO．
∵QB=AO，QB∥AO，
∴四边形AOBQ是平行四边形．
又∵∠AOB=90°，
∴四边形AOBQ是正方形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积公式、梯形的判定、正方形的判定，一元二次方程根与系数的关系，求得点B与点Q的横坐标（用含a的式子表示）是解题的关键．