Question

【题目】菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=2BD，以AD为斜边在菱形ABCD同侧作Rt△ADE．
（1）如图1，当点E落在边AB上时．
①求证：∠BDE=∠BAO；
②求 的值；
③当AF=6时，求DF的长．

（2）如图2，当点E落在菱形ABCD内部，且AE=DE时，猜想OE与OB的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，又△ADE是直角三角形，

∴∠AEF=∠DOF=90°，

∴∠BDE+∠DFO=∠BAO+∠AFE，

∵∠AFE=∠DFO，

∴∠BDE=∠BAO；

②∵AC=2BD，

∴AO=2OB，

∴tan∠BAO= = ，

∴tan∠ODF= = ，

∴ =2；

③设OF=x，则OD=2x，AO=4x，

∵AF=6，

∴4x﹣x=6，

∴x=2，即OF=2，DO=4，

由勾股定理得，DF= =2

（2）

解：OB= OE．

理由如下：如图2，连结BE，

在△AEO和△DEB中，

，

∴△AEO≌△DEB，

∴EO=EB，∠AEO=∠DEB，

∴∠AEO﹣∠DEO=∠DEB﹣∠DEO，即∠OEB=∠AED=90°，

∴OB= OE．

【解析】（1）①根据菱形的性质和对顶角相等证明即可；②根据∠BAO=∠ODF以及正切的概念计算；③设OF=x，根据题意用x表示出OD、AO，根据题意求出x的值，根据勾股定理计算即可；（2）连结BE，证明△AEO≌△DEB，得到△OEB为等腰直角三角形，即可解答．
【考点精析】利用勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．