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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E.

(1)求证:直线BD与⊙O相切;
(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直径.

【答案】
(1)证明:连接OD、DE,

∵OA=OD,

∴∠A=∠ADO,

∵∠A+∠CDB=90°,

∴∠ADO+∠CDB=90°,

∴∠ODB=180°﹣90°=90°,

∴OD⊥BD,

∵OD是⊙O半径,

∴直线BD与⊙O相切;


(2)解:∵AE是⊙O直径,

∴∠ADE=90°=∠C,

∴BC∥DE,

∴△ADE∽△ACB,

∵D为AC中点,

∴AD=DC= AC,

∴AE=BE= AB,

DE是△ACB的中位线,

∴AE= AB,DE= BC= ×6=3,

设AD=4a,AE=5a,

在Rt△ADE中,由勾股定理得:DE=3a=3,

解得:a=1,

∴AE=5a=5,

答:⊙O的直径是5.


【解析】(1)连接OD、DE,易证∠A=∠ADO,证出∠A+∠CDB=90°,得出∠ADO+∠CDB=90°,可得到OD⊥BD,根据切线的判定定理即可得出结论。
(2)根据圆周角定理得出∠ADE==∠C,从而证得BC∥DE,由平行得三角形相似得出△ADE∽△ACB,得出对应边成比例,再证明DE是△ACB的中位线,然后根据勾股定理建立方程求出a的值,即可求出圆的直径。
【考点精析】掌握勾股定理的概念和三角形中位线定理是解答本题的根本,需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.

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