Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若

GF

AF

=

5

8

，CF=6，则四边形BDFG的周长为

 

．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．

解答：解∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=

1

2

AC=5，
∴四边形BGFD是菱形．
∵

GF

AF

=

5

8

，CF=6，
∴GF=5x，则AF=8x，AC=10x，在Rt△ACF中利用勾股定理得到：100x²=64x²+36．
解得x²=1，则x=1（舍去负值）．
则GF=5x=5．
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
故答案是：20．

点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．