Question

13．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=ab²+2ab+a．
如：1*3=1×3²+2×1×3+1=16
（1）求2*（-2）的值；
（2）若$2*x=m，（{\frac{1}{4}x}）*3=n$（其中x为有理数），试比较m，n的大小；
（3）若$[{（{\frac{a+1}{2}}）*（{-3}）}]*\frac{1}{2}$=a+4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据给定定义式，代入数据求值即可；
（2）根据给定定义式，表示出m和n，做差后即可得出结论；
（3）重复套用定义式，得出关于a的一元一次方程，解方程求出a值即可．

解答 解：（1）2*（-2）=2×（-2）²+2×2×（-2）+2=2．
（2）m=2*x=2x²+2×2x+2=2x²+4x+2，n=（$\frac{1}{4}$x）*3=（$\frac{1}{4}$x）×3²+2×（$\frac{1}{4}$x）×3+$\frac{1}{4}$x=4x，
m-n=2x²+4x+2-4x=2x²+2≥2，
故m＞n．
（3）（$\frac{a+1}{2}$）*（-3）=$\frac{a+1}{2}$×（-3）²+2×$\frac{a+1}{2}$×（-3）+$\frac{a+1}{2}$=2a+2，（2a+2）*$\frac{1}{2}$=（2a+2）×（$\frac{1}{2}$）²+2×（2a+2）×$\frac{1}{2}$+（2a+2）=$\frac{9a}{2}$+$\frac{9}{2}$，
即a+4=$\frac{9}{2}$a+$\frac{9}{2}$，解得：a=-$\frac{1}{7}$．
答：当$[{（{\frac{a+1}{2}}）*（{-3}）}]*\frac{1}{2}$=a+4时，a的值为-$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查的解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据给定定义式，代入数据求值；（2）根据给定定义式，求出m、n；（3）重复套用给定定义式找出方程．