Question

17．如图，已知抛物线y=-x²+2x经过原点O，且与直线y=x-2交于B，C两点．
（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；
（2）求证：∠ABC=90°；
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；
（2）由A、B、C的坐标可求得AB²、BC²和AC²，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；
（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；
（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标．

解答 解：
（1）∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴抛物线顶点坐标A（1，1），
联立抛物线与直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴B（2，0），C（-1，-3）；

（2）证明：
由（1）可知B（2，0），C（-1，-3），A（1，1），
∴AB²=（1-2）²+1²=2，BC²=（-1-2）²+（-3）²=18，AC²=（-1-1）²+（-3-1）²=20，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°；

（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，

设P（t，-t²+2t），则G（t，t-2），
∵点P在直线BC上方，
∴PG=-t²+2t-（t-2）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，
∴S_△PBC=S_△PGB+S_△PGC=$\frac{1}{2}$PG[2-（-1）]=$\frac{3}{2}$PG=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，S_△PBC有最大值，此时P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
即存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；

（4）∵∠ABC=∠ONM=90°，
∴当△OMN和△ABC相似时，有$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$或$\frac{ON}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$，
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，-m²+2m），
∴MN=|-m²+2m|，ON=|m|，
①当$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$时，即$\frac{|-{m}^{2}+2m|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，解得m=5或m=-1或m=0（舍去）；
②当$\frac{ON}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$时，即$\frac{|m|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|-{m}^{2}+2m|}{\sqrt{2}}$，解得m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{7}{3}$或m=0（舍去）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（5，0）或（-1，0）或（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中联立两函数解析式可求得其交点坐标，在（2）中利用勾股定理分别表示出AB、AC、BC是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键，在（4）中用N点坐标分别表示出ON、MN，利用相似三角形的性质得到关于N点坐标的方程解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．