Question

9．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x-3n）²+4n的顶点A在直线m上运动，抛物线与直线m的另一个交点为点B．
（1）求直线m的函数解析式；
（2）判断AB的长是否为定值？若为定值，求出其值；若不是定值，求出AB的长与n的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）首先求得抛物线的顶点坐标，根据坐标可以发现直线m是正比例函数，由此利用待定系数法求得答案即可；
（2）两个函数两立方程，设出交点坐标为（a，p），（b，q），利用根与系数的关系，以及两点之间的距离计算方法求得AB的长与n的函数关系式即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x-3n）²+4n的顶点A为（3n，4n），
∴设直线m=kx，
代入解得k=$\frac{4}{3}$，
∴直线m的函数解析式y=$\frac{4}{3}$x；
（2）由题意得
-$\frac{1}{2}$（x-3n）²+4n=$\frac{4}{3}$x，
整理得：x²-（6n+6）x+9n²=0，
设函数的两个交点坐标为（a，p），（b，q），
则a+b=6n+6，ab=9n²，
（a-b）²=（a+b）²-4ab=72n+36；
（p-q）²=[$\frac{4}{3}$（a-b）]²=$\frac{16}{9}$[（a+b）²-4ab]=128n+64；
因此AB=$\sqrt{（a-b）^{2}+（p-q）^{2}}$=10$\sqrt{2n+1}$．

点评 此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，两点之间的距离计算方法，根与系数的关系，综合性较强，注意数据的特点，选择适当的方法解决问题．