【题目】我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明: ;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足 ,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG , S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究 的最大值.
【答案】
(1)
证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.
∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.
∴DE是中位线,
∴DE∥AC,且DE= AC.
∵DE∥AC,
∴△AOC∽△DOE,
∴ =2,
∵AD=AO+OD,
∴
(2)
答:点O是△ABC的重心.
证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.
由(1)可知, ,
而 ,
∴点Q与点O重合(是同一个点),
∴点O是△ABC的重心
(3)
解:如答图3所示,连接DG.
设S△GOD=S,由(1)知 ,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.
为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.
设OH=kOG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.
∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=(6x+6)S﹣(2k+2)S=(6x﹣2k+4)S.
∴ = = ①
如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE.
∵OF∥BC,
∴ ,
∴OF= CD= BC;
∵GE∥BC,
∴ ,
∴GE= ;
∴ = ,
∴ .
∵OF∥GE,
∴ ,
∴ = ,
∴k= ,代入①式得:
= = =﹣x2+x+1=﹣(x﹣ )2+ ,
∴当x= 时, 有最大值,最大值为
【解析】(1)如答图1,作出中位线DE,证明△AOC∽△DOE,可以证明结论;(2)如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.由(1)可知, ,而已知 ,故点O与点Q重合,即点O为△ABC的重心;(3)如答图3,利用图形的面积关系,以及相似线段间的比例关系,求出 的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数的性质求出其最大值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小,以及对相似三角形的判定的理解,了解相似三角形的判定方法:两角对应相等,两三角形相似(ASA);直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS);三边对应成比例,两三角形相似(SSS).
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【题目】若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
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【题目】对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=ax+2by-1(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(0,1)=a·0+2b·1-1=2b-1.已知T(1,-1)=-2,T(-3,2)=4.
(1)求a,b的值;
(2)利用(1)的结果化简求值:(a-b)2-(a+2b)·(a-2b)+2a(1+b).
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【题目】某批发门市销售两种商品,甲种商品每件售价为300元,乙种商品每件售价为80元.新年来临之际,该门市为促销制定了两种优惠方案:
方案一:买一件甲种商品就赠送一件乙种商品;
方案二:按购买金额打八折付款.
某公司为奖励员工,购买了甲种商品20件,乙种商品x(x≥20)件.
(1)分别写出优惠方案一购买费用y1(元)、优惠方案二购买费用y2(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式;
(2)若该公司共需要甲种商品20件,乙种商品40件.设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品,其余按方案二的优惠办法购买.请你写出总费用w与m之间的关系式;利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠.
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【题目】某校为了解九年级学生体育测试情况,以九年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:A级:90分~100分;B级:75分~89分;C级:60分~74分;D级:60分以下)
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少?
(3)若该校九年级有600名学生,请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人?
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【题目】某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.符合题意的组建方案有( )种.
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
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【题目】如图,A,B,C为⊙O上相邻的三个n等分点, ,点E在 上,EF为⊙O的直径,将⊙O沿EF折叠,使点A与A′重合,点B与B′重合,连接EB′,EC,EA′.设EB′=b,EC=c,EA′=p.现探究b,c,p三者的数量关系:发现当n=3时,p=b+c.请继续探究b,c,p三者的数量关系:当n=4时,p=;当n=12时,p= . (参考数据:sin15°=cos75°= ,cos15°=sin75°= )
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为_____________.(点C不与点A重合)
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【题目】已知如图,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,若∠BOD:∠BOC=1:5.
(1)求∠AOC的度数;
(2)如图,过点O作OF⊥AB,求∠DOF与∠EOF的度数.
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