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【题目】我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:

(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足 ,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG , SAGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究 的最大值.

【答案】
(1)

证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.

∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.

∴DE是中位线,

∴DE∥AC,且DE= AC.

∵DE∥AC,

∴△AOC∽△DOE,

=2,

∵AD=AO+OD,


(2)

答:点O是△ABC的重心.

证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.

由(1)可知,

∴点Q与点O重合(是同一个点),

∴点O是△ABC的重心


(3)

解:如答图3所示,连接DG.

设SGOD=S,由(1)知 ,即OA=2OD,

∴SAOG=2S,SAGD=SGOD+SAGO=3S.

为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则SBGD=3xS.

∴SABD=SAGD+SBGD=3S+3xS=(3x+3)S,

∴SABC=2SABD=(6x+6)S.

设OH=kOG,由SAGO=2S,得SAOH=2kS,

∴SAGH=SAGO+SAOH=(2k+2)S.

∴S四边形BCHG=SABC﹣SAGH=(6x+6)S﹣(2k+2)S=(6x﹣2k+4)S.

= =

如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE.

∵OF∥BC,

∴OF= CD= BC;

∵GE∥BC,

∴GE=

=

∵OF∥GE,

=

∴k= ,代入①式得:

= = =﹣x2+x+1=﹣(x﹣ 2+

∴当x= 时, 有最大值,最大值为


【解析】(1)如答图1,作出中位线DE,证明△AOC∽△DOE,可以证明结论;(2)如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.由(1)可知, ,而已知 ,故点O与点Q重合,即点O为△ABC的重心;(3)如答图3,利用图形的面积关系,以及相似线段间的比例关系,求出 的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数的性质求出其最大值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小,以及对相似三角形的判定的理解,了解相似三角形的判定方法:两角对应相等,两三角形相似(ASA);直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS);三边对应成比例,两三角形相似(SSS).

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