Question

12．如图，直线y=-x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，对称轴为x=1的抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线与对称轴交于D点，连接CE、CB、BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：BD∥CE；
（3）在直线AB上是否存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B、A点坐标，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的判断与性质，可得∠BDF=∠CEG，根据平行线的判定，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，即B点（0，3），当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），
由A、C关于x=1对称，得C（-1，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）证明：如图1，
作BF⊥DE于F，F点的坐标为（1，3），D（1，4），
BF=1，DF=4-3=1；
当x=1时，y=-1+3=2，即E点坐标为（1，2），G（1，0），
EG=2，CG=2．
$\frac{BF}{CG}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{1}{2}$，∠BFD=∠CGE=90°，
∴△BFD∽△CGE，
∴∠BDF=∠CEG，
∴BD∥CE；
（3）设P点坐标为（m，-m+3），E（1，2），B（0，3），
由勾股定理，得
BE=$\sqrt{（0-1）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+3-3）^{2}}$=$\sqrt{2{m}^{2}}$，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
①当△BDP∽△ECB，
$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{\sqrt{2{m}^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
解得m=±$\frac{1}{2}$，
即P₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
②当△DBP∽△BEC时
$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BD}{BE}$，即$\frac{\sqrt{2{m}^{2}}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
∴m²=4，m=±2
∴P₃（2，1），P₄（-2，5）
在直线AB上存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似，P₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（2，1），P₄（-2，5）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定与性质得出∠BDF=∠CEG是解题关键；利用相似三角形的对应边成比例得出关于m的方程是解题关键．