Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的角平分线，CH⊥AB于H，若AD=p，BD=q，求CH的长．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,勾股定理

专题：计算题

分析：先根据三角形角平分线定理得到

BC

AC

=

BD

AD

=

q

p

，设BC=kq，则AC=kp，再利用勾股定理得到k²p²+k²q²=（p+q）²，则k²=

(p+q)2

p2+q2

，然后利用面积法得CH•（p+q）=kp•kq，再利用等式的性质计算CH．

解答：解：∵CD为∠ACB的角平分线，
∴

BC

AC

=

BD

AD

=

q

p

，
设BC=kq，则AC=kp，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴k²p²+k²q²=（p+q）²，
∴k²=

(p+q)2

p2+q2

，
∵

1

2

CH•AB=

1

2

AC•BC，
∴CH•（p+q）=kp•kq，
∴CH=

pq

p+q

•

(p+q)2

p2+q2

=

p2q+pq2

p2+q2

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了勾股定理和三角形角平分线定理．