Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙PO交BC边于点D，∠ABC的平分线分别于⊙O、AC相交于E、F两点，过A作AG∥BC交CE的延长线于点G，CG⊥BC．
（1）求证：CG为⊙O的切线；
（2）若AB=10，CG=8，求

EF

BF

的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，连接OE，证明OE⊥CG即可解决问题；
（2）如图，连接AD；利用有关定理首先求出

EF

FH

的值，再求出

BH

BE

的值，进而求出线段EF、FB之间的数量关系问题即可解决．

解答：解：（1）如图1，连接OE；
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE；而OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠CBE；
∵CG⊥BC，
∴∠CEB+∠CBE=90°，
∴∠CEB+∠OEB=90°，
即OE⊥CG，
∴CG为⊙O的切线．
（2）如图2，连接AD，交BE于点H；
∵CG⊥BC，AG∥BC，
∴∠GCB=90°；
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ADCG为矩形，
∴AD=GC=8，
由勾股定理得：
BD²=AB²-AD²=100-64=36，
∴BD=6；
∵AG⊥CG，OE⊥CG，BC⊥CG，
∴AG∥OE∥BC，而OA=OB，
∴GE=CE=4；
∵CE为⊙O的切线，
∴CE²=（CB-6）CB（切割线定理），
解得：CB=8或-2（舍去）；
∵BE平分∠ABC，
∴

CF

AF

=

CB

AB

=

8

10

=

4

5

，

DH

AH

=

BD

AB

=

6

10

=

3

5

；
∵AD∥CE，
∴△CEF∽△AHF，△BCE∽△BDH；
∴

CE

AH

=

EF

FH

=

CF

AF

=

4

5

，
设CE=4m，则AH=5m，DH=3m；
∵△BCE∽△BDH，
∴

BH

BE

=

DH

CE

=

3m

4m

=

3

4

，
设BH=3x，则BE=4x，EH=x；
∵

EF

FH

=

4

5

，
∴EF=

4

9

x，BF=

5

9

x+x=

14

9

x，
∴

EF

BF

=

2

7

．

点评：该题以圆为载体，以切线的判定、圆周角定理的推论、勾股定理等重要几何知识点的考查为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关知识点来分析、判断、推理或解答．