Question

直线y=

3

x+

3

与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，以线段AB为一边在第二象限内作等边△ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）设线段CD是△ABC的角平分线，求线段CD的解析式与定义域．

Answer 1

考点：待定系数法求一次函数解析式,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据函数的关系式我们可求出A，B两点的坐标为（-1，0），（0，

3

），OA=1，OB=

3

，因此∠ABO=30°，因为三角形CAB是个等边三角形，因此∠CAB=60°，那么CB⊥OB，C点的纵坐标就是B点的纵坐标，如果求出CB的长那么就能求出C点的坐标了，根据BC=AB，有OA、OB的长，根据勾股定理我们可求出AB的长，也就求出BC的长，那么C点的坐标就求出来了．
（2）根据等边三角形角平分线的性质，可知CD⊥AB，根据直线y=

3

x+

3

即可得出直线CD的斜率，设直线CD为y=-

3

3

x+b，代入C的坐标即可求得线段CD的解析式；

解答：解：（1）根据直线的函数关系式，我们可得出A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（0，

3

），
那么OA=1，OB=

3

，直角三角形ABO中，AB=

OA2+OB2

=2，∠ABO=30°，
根据三角形ABC是个等边三角形，因此∠CBA=60°．∠CBO=∠CBA+∠ABO=90°，
因此C点的纵坐标应该和A点相同，
∵AC=AB=BC，
∴BC=AB=2，
那么C点的坐标为（-2，2）．

（2）∵线段CD是△ABC的角平分线，
∴直线CD垂直平分AB，
∴设这条直线CD为y=-

3

3

x+b，
将C点的坐标代入这条直线中得：-

3

3

×（-2）+b=2，b=

6-2 3

3

，
因此这条线段CD的解析式是y=-

3

3

x+

6-2 3

3

（-2≤x≤-

1

2

）；

点评：本题综合考查了一次函数和直角三角形的应用，本题中利用直角三角形来求线段的长，从而得出点的坐标是解题的基本思路．